Инъективные отображения - фундаментальное понятие в математике. Давайте разберемся, что это такое и где применяется.
Определение инъективного отображения
Пусть есть два множества X и Y. Отображение f из X в Y называется инъективным, если разным элементам x1 и x2 из X соответствуют разные элементы f(x1) и f(x2) из Y.
Инъективное отображение "различает" элементы множества X, переводя их в различные элементы множества Y.
Например, функция f(x) = 2x отображает множество действительных чисел в себя инъективно: разным x соответствуют разные 2x. А вот функция f(x) = x2 неинъективна: она отображает -2 и 2 в одно и то же число 4.
- Инъективное отображение называют также взаимно-однозначным;
- Функция инъективна тогда и только тогда, когда уравнение вида f(x) = a имеет не более одного решения.
Сравним инъективные отображения с другими видами:
- Сюръективное отображение переводит X во все Y;
- Биективное отображение одновременно инъективно и сюръективно.
Свойства инъективных отображений
У инъективных отображений есть важные свойства, позволяющие работать с ними в различных областях математики.
- Если отображение инъективно, то существует обратное отображение, которое тоже инъективно.
- Композиция (последовательное применение) инъективных отображений - инъективна.
- Если ограничить инъективное отображение, то оно останется инъективным.
| Число элементов в X | Число элементов в f(X) |
| Равно | f инъективно |
Также выполняется полезный критерий: если при инъективном отображении f число элементов в области определения X равно числу элементов в области значений f(X), то отображение f - инъективное и сюръективное, то есть биективное.
Применение инъективных отображений
Инъективные отображения часто используются в различных разделах математики и других областях.
Например, в линейной алгебре с их помощью определяют понятия базиса и размерности векторного пространства. А в математическом анализе при помощи инъекций доказывается существование пределов и непрерывность функций.
Ниже приведен пример использования инъективного отображения для решения геометрической задачи.
Пример использования инъективного отображения
Рассмотрим задачу о покрытии плоскости кругами одинакового радиуса R так, чтобы круги не пересекались. Необходимо найти минимальное расстояние d между центрами соседних кругов.
Пусть отображение f ставит в соответствие каждой точке плоскости ближайший к ней центр круга. Это отображение инъективно, поскольку разным точкам плоскости соответствуют разные центры кругов. Кроме того, каждому центру круга соответствует хотя бы одна точка плоскости из данного круга. Значит, отображение f также сюръективно, то есть является биекцией.
Из свойств биекций следует, что площадь плоскости равна суммарной площади всех кругов. Приравняв их и решив полученное уравнение, находим искомое расстояние d.
Инвариантное определение инъективности
Существует эквивалентное определение инъективного отображения через так называемые инвариантные подмножества.
Подмножество A множества X называется инвариантным относительно отображения f : X → Y, если f(A) = f(X) ∩ f(A). Иными словами, образ подмножества A совпадает с пересечением всего образа f(X) и образа подмножества f(A).
Можно доказать, что отображение f инъективно тогда и только тогда, когда единственным инвариантным подмножеством X является все множество X.
Критерии инъективности
Помимо приведенных выше свойств, существуют различные критерии проверки инъективности отображения.
- Равенство мощностей (числа элементов) областей определения и значений;
- Существование обратного отображения;
- Единственность решения уравнений вида f(x) = y.
Эти критерии позволяют на практике определять, является ли данное отображение инъективным, не прибегая к формальному определению.
Обобщение на отношения
Понятие инъективности естественным образом обобщается на случай бинарных отношений. Пусть дано отношение R на множестве X. Говорят, что R инъективно, если из xRy и zRy следует, что x = z для любых элементов x, z из X.
Такое обобщение позволяет использовать свойства инъективных отображений в более широких условиях.
