Формулы Лапласа - это мощный инструментарий для решения вероятностных задач. С их помощью можно значительно упростить вычисления при большом числе независимых испытаний. Давайте разберемся подробнее, что они из себя представляют.
Предпосылки создания формул
Пьер-Симон Лаплас - выдающийся математик и астроном XVIII века. Он внес огромный вклад в теорию вероятностей. В частности, Лапласу принадлежит открытие двух фундаментальных формул для приближенного вычисления вероятностей.
До этого существовала формула Бернулли , позволяющая точно посчитать вероятность в схеме испытаний с двумя исходами. Однако ее применение было ограничено.
- Вычисления по формуле Бернулли громоздки из-за факториалов и степеней.
- При больших значениях n и k требуются мощные вычислительные машины.
Возникла потребность в более простых способах подсчета вероятностей. Так появились формула Лапласа - локальная и интегральная теоремы Лапласа.
Локальная формула Лапласа
Локальная формула Лапласа позволяет найти вероятность наступления случайного события ровно k раз в n испытаниях. Она имеет вид:
Здесь φ(x) - функция Гаусса, значения которой приведены в статистических таблицах. Для применения этой формулы должны выполняться следующие условия:
- Испытания независимы друг от друга.
- Вероятность события в каждом испытании одинакова и равна p.
- Число испытаний n достаточно велико, как правило, n > 100.
- np > 5 и n(1-p) > 5 (приближение работает лучше, чем ближе p к 0.5).
Рассмотрим задачу, где применима локальная формула Лапласа .
Задача. Монету подбрасывают 200 раз. Найти вероятность, что орел выпадет ровно 100 раз.
Решение.
Условия применимости выполнены: испытания независимы, p(орел) = 0.5, число подбрасываний n = 200 > 100. Применяем локальную формулу Лапласа:
Итак, искомая вероятность p = 0.0798 = 7.98%.
Связь формул Лапласа с уравнениями Максвелла
Интересный факт: аналогичный математический подход с использованием интегралов применялся в XIX веке физиком Био для вывода уравнений электромагнитного поля. Совместно с Савара он получил так называемую формулу Био-Савара-Лапласа , описывающую магнитное поле проводника с током. Эта формула также является интегральным преобразованием и позволяет вычислить поле в любой точке пространства, зная токи и конфигурацию проводников.
Таким образом, методы вычисления интегралов, разработанные Лапласом в теории вероятностей, нашли применение и в других областях науки XIX века, в частности в электродинамике.
Условия применения интегральной формулы Лапласа
Для использования интегральной формулы Лапласа должны выполняться следующие условия:
- Испытания независимы друг от друга
- Вероятность события в каждом испытании постоянна и равна p
- Число испытаний n достаточно большое, как правило, n > 100
- np > 5 и n(1-p) > 5
Эти условия аналогичны ограничениям на использование локальной формулы Лапласа.
Алгоритм применения интегральной формулы Лапласа
Пошаговый алгоритм использования интегральной теоремы Лапласа:
- Проверить выполнение необходимых условий
- Определить параметры задачи: n, p, m и k
- Подставить значения в формулу интегральной теоремы Лапласа
- Вычислить значения функции Лапласа
- Найденная вероятность и есть ответ
Пример использования интегральной формулы Лапласа
Рассмотрим задачу с применением интегральной теоремы:
Задача. В университете учится 2500 студентов. Вероятность того, что студент придет на лекцию, равна 0.6. Найти вероятность, что на лекцию придут от 1200 до 1600 студентов.
Решение. Применяем интегральную
Подставляя значения n = 2500, p = 0.6, m = 1200 и k = 1600 в формулу и вычисляя интеграл, получаем искомую вероятность: 0.3944.
Ответ: вероятность того, что на лекцию придет от 1200 до 1600 студентов из 2500, равна примерно 0.3944 или 39.44%.
Сравнение локальной и интегральной формул Лапласа
Локальная и интегральная теоремы Лапласа имеют сходные черты, но и некоторые различия:
- Обе формулы работают для большого числа независимых испытаний и редких событий
- Имеют аналогичные ограничения на применение
- Локальная формула вычисляет вероятность строго k успехов
- Интегральная формула - вероятность интервала значений от m до k
Контроль точности вычислений по формулам Лапласа
Поскольку локальная и интегральная теоремы Лапласа дают лишь приближенный результат, важно оценить погрешность вычислений. Для этого можно:
- Сравнить с точным значением по формуле Бернулли, если возможно его вычислить
- Изменить число испытаний n и сравнить результаты
- Вычислить вероятность для соседних интервалов и проверить выполнение соотношений
Если отклонения незначительны - результатам по формулам Лапласа можно доверять.
Реализация формул Лапласа в ПО
Для упрощения вычислений по теоремам Лапласа можно использовать специальные функции в ПО:
- В Excel доступны функции НОРМСТРАСП и ЛАПЛАС
- В MATLAB и Python - функции normpdf и normcdf
- Также есть готовые статистические пакеты - R, Statistica
Задачи теории надежности
Одно из практических приложений формул Лапласа - расчет надежности сложных систем, состоящих из большого числа элементов.
