Высота в прямоугольном треугольнике: формулы и свойства

Высота в прямоугольном треугольнике является важным элементом, позволяющим находить другие элементы треугольника. Знание ее свойств помогает решать множество геометрических задач, встречающихся на экзаменах и в реальных расчетах.

Определение высоты в прямоугольном треугольнике

Напомним, что высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или ее продолжение. В общем случае у треугольника три высоты, каждая из которых проходит через вершину.

В прямоугольном треугольнике один из углов всегда равен 90°. Обозначим вершину прямого угла буквой C. Тогда высоты, опущенные на катеты AC и BC, будут совпадать с этими катетами. А вот высота CH, проведенная к гипотенузе AB, обладает особыми свойствами, позволяющими находить другие элементы треугольника.

Рассмотрим высоту CH подробнее в следующих разделах.

Основная формула высоты в прямоугольном треугольнике

Основное соотношение для высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, дает теорема о высоте:

В прямоугольном треугольнике квадрат высоты, проведенной из вершины прямого угла, равен произведению проекций катетов на гипотенузу.

Обозначим проекции катетов BC и AC на гипотенузу AB через BH = x и AH = y соответственно. Тогда по теореме получаем формулу:

Эта формула позволяет найти высоту CH, зная длины проекций катетов на гипотенузу. Рассмотрим пример:

В треугольнике ABC известно, что BH = 3 см, AH = 4 см. Найти длину высоты CH.

Решение:

• BH = 3 см
• AH = 4 см

Подставляем данные в формулу высоты:

Ответ: 5 см.

Таким образом, зная проекции катетов, можно легко найти искомую высоту в прямоугольном треугольнике. Эта формула пригодится нам и при выводе других соотношений.

Другие формулы высоты прямоугольного треугольника

Кроме основной формулы, существует несколько других способов выразить высоту CH через элементы прямоугольного треугольника:

• Через площадь треугольника
• Через катеты и гипотенузу
• Через радиус описанной окружности
• Через синус или косинус острого угла

Рассмотрим некоторые из них подробнее.

Формула высоты через площадь треугольника

Известно, что площадь прямоугольного треугольника можно вычислить двумя способами:

• S = (ac)/2
• S = (ab·CH)/2

где а, b - длины катетов; с - длина гипотенузы.

Данная формула позволяет найти высоту, если известны длины двух катетов и гипотенузы. Например:

В треугольнике АВС b = 3 см, с = 5 см. Найти высоту CH.

Решение:

• b = 3 см
• c = 5 см
• а = 4 см (по теореме Пифагора)

Ответ: 4 см.

Аналогичным образом можно получить формулу высоты через радиус описанной окружности или через тригонометрические соотношения. Рассмотрим еще один способ.

Формула высоты через катеты и гипотенузу

Эта формула основана на теореме:

В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, равна произведению катетов, деленному на гипотенузу.

Доказательство этой формулы основано на свойстве подобия треугольников, которые получаются при проведении высоты CH. Мы не будем приводить здесь вывод, а сразу рассмотрим пример:

В треугольнике ABC известно: AB = 5 см, BC = 12 см. Найти CH.

Решение:

• AB = 5 см (гипотенуза)
• BC = 12 см (катет)
• AC = 13 см (второй катет, по теореме Пифагора)

Подставляем данные в формулу высоты через катеты и гипотенузу:

Ответ: 12 см.

Сравнение формул высоты

Мы рассмотрели несколько разных формул для нахождения высоты в прямоугольном треугольнике. Каждая из них может быть удобна в зависимости от данных, представленных в конкретной задаче.

Основная формула через проекции катетов используется, когда заданы именно проекции. Формула через площадь - если заданы длины двух катетов и гипотенузы. А формула через катеты и гипотенузу - когда известны сами катеты и гипотенуза.

Применение формул в задачах

Рассмотрим пример задачи, где для нахождения высоты нужно будет использовать сразу две формулы:

Дан прямоугольный треугольник с катетами 12 см и 16 см. Найти высоту, проведенную к гипотенузе, если известно, что один из острых углов равен 30°.

Решение:

1. Найдем длину гипотенузы по теореме Пифагора: c² = 12² + 16² = 20 см
2. Воспользуемся формулой высоты через синус острого угла: h = c · sin(30°) = 20 · 0,5 = 10 см

Ответ: 10 см.

Применение высоты в доказательстве теорем и построениях

Знание свойств высоты позволяет не только находить элементы треугольника, но и использовать ее в доказательствах различных утверждений и при геометрических построениях.

Например, с помощью высоты можно доказать, что биссектриса прямоугольного треугольника делит его площадь пополам. А при построении прямоугольного треугольника по значению высоты и катету удобно использовать основную формулу высоты через проекции.

Использование высоты в задачах ОГЭ и ЕГЭ

Рассмотрим применение свойств высоты прямоугольного треугольника при решении задач из открытого банка ФИПИ для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ.

Задача из варианта ОГЭ:

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C известно, что AC = 5, BC = 12. Найдите высоту CH этого треугольника, проведенную из вершины прямого угла.

Решение: используем формулу высоты через катеты и гипотенузу.

Ответ: 12.

Любопытные факты о высоте

Помимо хорошо изученных свойств, высота прямоугольного треугольника обладает некоторыми интересными особенностями:

• Является медианой и биссектрисой одновременно, если треугольник равнобедренный
• Делит пополам площадь и периметр треугольника
• Играет важную роль в построении многих геометрических фигур и доказательствах теорем

Эти и другие любопытные факты показывают, насколько уникальным элементом треугольника является высота.