Векторы являются важным математическим понятием, которое широко используется в физике, информатике, инженерии и других областях. Умение складывать и вычитать векторы необходимо для решения многих прикладных задач.
Базовые понятия и определения
Вектор - это направленный отрезок, который задается длиной и направлением. Векторы можно изобразить графически в виде стрелок.
Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой. Векторы, лежащие в одной плоскости, называются компланарными.
Длина вектора называется модулем и обозначается двойной вертикальной чертой: |\vec a|.
Важными свойствами векторов являются:
- Замкнутость - сумма всех векторов равна нулю
- Перестановочность - порядок сложения векторов не важен
Рассмотрим основные правила как складывать векторы, если они коллинеарны, т.е. лежат на одной прямой.
Сонаправленные векторы
Если два вектора направлены в одну сторону, то для их сложения можно использовать правило:
- положить один вектор после другого по направлению
- складывать длины векторов
- сохранить общее направление
На рисунке показано сложение двух сонаправленных векторов \(\vec a\) и \(\vec b\):
Результатом сложения является вектор \(\vec c = \vec a + \vec b\) с длиной, равной сумме длин складываемых векторов, и тем же направлением.
Противоположно направленные векторы
Если один вектор направлен в противоположную от другого вектора сторону, используется следующее правило как складывать векторы:
- Наложить начала векторов
- Отложить второй вектор от начала первого
- В результате получится вектор, длина которого равна разности длин исходных векторов, а направление совпадает с направлением вектора большей длины
На рисунке показан пример сложения вектора \(\vec a\) и противоположно направленного вектора \(\vec b\):
Результирующий вектор \(\vec c = \vec a + \vec b\) имеет длину, равную разности длин исходных векторов \(|\vec a| - |\vec b|\), и направлен так же, как более длинный вектор \(\vec a\).
Примеры сложения коллинеарных векторов
Рассмотрим несколько примеров применения правил сложения к коллинеарным векторам.
Заданы векторы \(\vec a=(3,0)\), \(\vec b=(4,0)\) и \(\vec c=(-5,0)\), заданные на координатной прямой. Требуется найти сумму \(\vec a + \vec b + \vec c\).
Векторы коллинеарны, так как имеют одинаковое направление. Сложим сначала два сонаправленных вектора \(\vec a\) и \(\vec b\):
(\vec a + \vec b = (3, 0) + (4, 0) = (7, 0))
Затем сложим полученный вектор \(\vec a + \vec b\) с вектором \(\vec c\), который направлен в противоположную сторону:
(\vec a + \vec b + \vec c = (7, 0) + (-5, 0) = (2, 0))
Ответ: сумма векторов равна \(\vec a + \vec b + \vec c = (2, 0)\).
Сложение неколлинеарных векторов
Если два вектора \(\vec a\) и \(\vec b\) не коллинеарны, то для их сложения нельзя использовать рассмотренные ранее правила. В этом случае применяются другие методы.
Метод треугольников
Суть этого метода заключается в следующем:
- Перенести начало вектора \(\vec b\) в конец вектора \(\vec a\)
- Построить треугольник с общей стороной \(\vec a\) и двумя другими сторонами \(\vec b\) и \(\vec c = \vec a + \vec b\)
- Вектор \(\vec c\) и есть сумма исходных векторов
Этот метод называется также правилом треугольника или "хвост к голове". Он наглядно демонстрирует как складывать векторы, изображенные на чертеже.
Метод многоугольника
Для сложения трех и более неколлинеарных векторов используется похожий метод:
- Перенести начала всех векторов в одну точку
- Последовательно складывать векторы, замыкая многоугольник
- Диагональ этого многоугольника и будет являться результирующим вектором
Таким образом можно найти сумму любого числа неколлинеарных векторов, построив замкнутый многоугольник.
Пример сложения трех неколлинеарных векторов
Для закрепления метода многоугольника рассмотрим пример сложения трех неколлинеарных векторов \(\vec a\), \(\vec b\) и \(\vec c\):
- Переносим начала векторов в общую точку O
- Последовательно складываем векторы: \(\vec a + \vec b = \vec d\)
- Продолжаем: \(\vec d + \vec c = \vec e\)
- Полученный вектор \(\vec e\) является суммой исходных векторов: \(\vec e = \vec a + \vec b + \vec c\)
Таким образом, замкнув многоугольник, мы нашли результирующий вектор - сумму трех заданных векторов.
Особенности сложения векторов в пространстве
Если векторы заданы в трехмерном пространстве, то для сложения используется тот же подход:
- Перенести начала в общую точку
- Последовательно складывать векторы геометрически
- Получить результирующий вектор
Однако в трехмерном случае сложнее визуализировать этот процесс. Поэтому часто используют аналитический метод сложения по координатам.
