Когда меняется знак в неравенствах: полное руководство по решению

Неравенства являются важной частью школьного курса математики. Однако при их решении часто возникают сложности, особенно когда нужно определить, менять или нет знак неравенства в том или ином случае.

Основные правила изменения знака неравенства

Прежде всего, давайте вспомним два базовых правила, связанных с изменением знака неравенства:

  1. При переносе слагаемого из одной части неравенства в другую, знак этого слагаемого меняется на противоположный.
  2. При умножении (делении) обеих частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный.

Эти два правила нужно запомнить, так как они лежат в основе решения большинства неравенств. Давайте разберем их подробнее.

Когда меняется знак в неравенствах на противоположный: перенос слагаемого

Пусть имеется неравенство:

x + 5 > 2

Чтобы перенести слагаемое +5 из левой части в правую, необходимо поменять его знак на противоположный. Получим:

x > 2 - 5

Так происходит потому, что при переносе члена неравенства фактически к обеим частям прибавляется одно и то же число, но взятое с противоположным знаком. Например:

  • x + 5 > 2
  • x + 5 - 5 > 2 - 5 (из левой части вычли 5)
  • x > 2 - 5 (в правую часть прибавили -5)

В итоге знак при переносе слагаемого всегда инвертируется. Это первое базовое правило.

Умножение на отрицательное число

Второе важное правило гласит: если обе части неравенства умножить (разделить) на отрицательное число, то его знак меняется на противоположный. Например, пусть дано:

х - 3 < 5

Умножим обе части на -1:

-1(х - 3) > -1(5)
-х + 3 > -5

Получилось неравенство с противоположным знаком. А если бы мы умножали на положительное число, знак бы не изменился. Например:

2(х - 3) < 2(5) 2х - 6 < 10

Поэтому при умножении неравенств очень важно обращать внимание на знак множителя!

Девушка смотрит на светящийся синим светом знак неравенства

Примеры решения неравенств

Теперь давайте разберем несколько конкретных примеров и посмотрим, когда именно меняется знак в неравенствах.

Пример 1

Решим неравенство:

3х + 4 > 2x + 5

Здесь сразу видно, что в правой части стоит слагаемое 2x, а в левой 4. Чтобы перенести их в разные части, нужно поменять знак:

  1. 3х + 4 > 2x + 5
  2. 3х - 2x > 5 - 4 (перенос слагаемых 2x и 4 с изменением знака)
  3. х > 1 (сокращаем подобные слагаемые)

В данном примере знаки менялись только при переносе слагаемых из одной части в другую. Сам знак неравенства ">" остался без изменений.

Три ученика спорят о решении неравенства в учебнике

Пример 2

Теперь возьмем следующее неравенство:

4(2x - 1) ≥ 2(x + 3)

Здесь обе части содержат множители. Раскроем скобки:

  1. 4(2x - 1) ≥ 2(x + 3)
  2. 8x - 4 ≥ 2x + 6 (раскрыли скобки)

Далее нужно перенести слагаемое 2x в левую часть неравенства, а -4 - в правую, изменив их знаки:

  1. 8x - 2x ≥ 6 + 4
  2. 6x ≥ 10 (объединили подобные слагаемые)

И снова знак неравенства "≥" остается неизменным. Знак в неравенствах меняется только при умножении обеих частей на отрицательное число.

Изменение знака в дробно-рациональных неравенствах

Отдельно стоит рассмотреть вопрос об изменении знака неравенств, содержащих дроби. Здесь также действуют те же правила, что и для обычных неравенств.

Когда меняется знак в неравенствах в показательных: показательные неравенства

Рассмотрим показательное неравенство:

2x > 8

Прологарифмируем обе части (возьмем логарифм от обеих частей). Поскольку логарифм - <когда меняется знак в неравенствах>возрастающая функция</когда меняется знак в неравенствах>, знак неравенства не меняется:

  1. 2x > 8
  2. ln(2x) > ln 8
  3. x ln 2 > ln 8
  4. x > 3

Таким образом, при преобразовании показательных и логарифмических неравенств знак меняется лишь в случае умножения обеих частей на отрицательное число.

Как видите, основными случаями изменения знака неравенства являются:

  • Перенос слагаемого в другую часть неравенства (меняется знак у слагаемого)
  • Умножение обеих частей на отрицательное число (меняется знак неравенства)

Запомнив эти два правила и механизмы их действия, вы сможете безошибочно определять, когда нужно менять знак неравенства при его решении.

Ошибки при изменении знака неравенств

Несмотря на довольно простые правила, многие допускают типовые ошибки при определении момента изменения знака неравенства. Рассмотрим наиболее распространенные из них.

Ошибка 1: изменение знака при умножении на положительное число

Иногда у учащихся возникает соблазн поменять знак неравенства при умножении на положительное число. Однако это неверно!

Например, в неравенстве:

5x + 7 > 2x - 3

После раскрытия скобок и преобразований можно прийти к такому неправильному результату:

3x + 10 < 0

Здесь ошибочно поменяли знак неравенства после умножения на положительное число 3. Правильное преобразование:

  1. 5x + 7 > 2x - 3
  2. 3(5x + 7) > 3(2x - 3) (умножили на 3)
  3. 3x + 10 > 0

Ошибка 2: опускание модуля

Еще одна распространенная ошибка - неправильная "распаковка" модуля. Например, в неравенстве:

|2x - 1| > 3

Неверной записью решения будет:

2x - 1 > 3 или 2x - 1 < -3

Правильно:

  1. 2x - 1 > 0, |2x - 1| = 2x - 1; 2x - 1 > 3;
  2. 2x - 1 < 0, |2x - 1| = -(2x - 1); -(2x - 1) > 3.

То есть модуль ни в коем случае нельзя опускать, пока не рассмотрены оба варианта знака для выражения внутри него.

Решение рациональных неравенств

Рассмотрим еще один распространенный класс неравенств - рациональные неравенства, то есть содержащие обыкновенные дроби. Например:

(3x + 1)/(x - 2) > (x + 5)/(x - 3)

Чтобы решить такое неравенство, необходимо:

  1. Привести дроби к общему знаменателю
  2. Сравнить числители полученных дробей

Выполняя эти шаги для данного примера, придем к неравенству:

(3x + 1)(x - 3)/(x - 2)(x - 3) > (x + 5)(x - 2)/(x - 2)(x - 3)

Теперь, когда знаменатели один, сравниваем полученные числители, не меняя знак неравенства:

(3x + 1)(x - 3) > (x + 5)(x - 2)

Раскрываем скобки:

2 + х - 9х - 3 > х2 + 5х - х - 10

Все слагаемые с переменными переносим в левую часть, приводим подобные:

2 - 4х - 7 > 0

Далее решаем полученное неравенство относительно переменной x. При этом, несмотря на наличие дробей, знак неравенства никогда не меняется. Так как все преобразования выполнялись путем умножения (деления) на положительные числа.

Нестрогие неравенства

Еще одна разновидность неравенств, которую стоит упомянуть, - это нестрогие неравенства, содержащие знаки ≤ или ≥. Например:

x + 4 ≥ 6

Правила изменения знака в нестрогих неравенствах точно такие же. Единственное отличие в том, что при умножении (делении) на отрицательное число знак ≤ или ≥ меняется не на строгий, а на соответствующий нестрогий:

-3(х + 4) ≤ -3(6)

То есть ≥ меняется на ≤, а ≤ на ≥. В остальных случаях правила работы с нестрогими неравенствами ничем не отличаются от рассмотренных ранее.

Статья закончилась. Вопросы остались?
Комментарии 0
Подписаться
Я хочу получать
Правила публикации
Редактирование комментария возможно в течении пяти минут после его создания, либо до момента появления ответа на данный комментарий.