Многочлены - неотъемлемая часть школьного курса алгебры. Но зачастую ученики воспринимают их как нечто абстрактное и сложное для понимания. На самом деле, используя простой и эффективный алгоритм - схему Горнера, вычисление значений многочленов становится легким и быстрым.
Что такое схема Горнера и почему она эффективна
Схема Горнера - это алгоритм деления многочлена на линейный множитель, позволяющий вычислить значение многочлена при конкретном значении переменной. Суть алгоритма заключается в последовательном делении многочлена на одночлены вида (x - a).
Например, чтобы вычислить значение многочлена P(x) = x3 + 2x2 - 5x + 1 при x = 2, мы последовательно делим его на одночлены (x - 2), (x - 2) и (x - 2):
- P(x) = x3 + 2x2 - 5x + 1
- P(2) = (2 - 2)(22 + 3·2 + 1) + 1 = 0·7 + 1 = 1
Как видно из примера, схема Горнера позволяет значительно упростить вычисления - вместо подстановки значения в исходный многочлен, мы выполняем последовательное деление, которое сводится к простым арифметическим действиям.
Еще одно важное преимущество схемы Горнера - возможность находить не только значение многочлена, но и его корни. Для этого достаточно делить многочлен на (x - a) до тех пор, пока остаток от деления не станет равным нулю - тогда число а и будет корнем.
Как применять схему Горнера на практике
Использование схемы Горнера в реальных задачах сводится к следующим шагам:
- Записать многочлен в стандартном виде:
P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0
- Выбрать число а, на которое будем делить
- Построить таблицу:
......
| an | an-1 |
| a | b0 |
- Заполнить вторую строку по формуле: bk = a·bk-1 + ak
Последний элемент второй строки и будет искомым значением P(a).
Рассмотрим конкретный пример.
Найдем значение многочлена P(x) = x3 - 6·x2 + 11·x - 6 при x = 2 схемой Горнера:
- P(x) = x3 - 6·x2 + 11·x - 6
- a = 2
- Строим таблицу:
| 1 | -6 | 11 | -6 |
| 2 | b0 | b1 | b2 |
- Заполняем:
- b0 = 2
- b1 = 2·b0 + (-6) = 2·2 + (-6) = -2
- b2 = 2·b1 + 11 = 2·(-2) + 11 = 7
- b3 = 2·b2 + (-6) = 2·7 + (-6) = 8
- Ответ: P(2) = 8
Как видно из примера, используя схему Горнера мы сводим вычисление значения многочлена к простым арифметическим операциям - в данном случае к 4 умножениям и 3 сложениям. Это значительно эффективнее прямой подстановки значения x = 2 в исходный многочлен.
Ошибки при использовании схемы Горнера
Несмотря на простоту и наглядность, при использовании схемы Горнера возможны типичные ошибки:
- Неверный порядок коэффициентов многочлена (они должны быть записаны в порядке убывания степеней)
- Ошибки при заполнении таблицы по формуле вычисления bk
- Неправильный выбор числа а, на которое делят многочлен
Чтобы избежать ошибок, рекомендуется соблюдать следующее.
Перед применением привычной схемы в стандартном виде по убыванию степеней:
- Внимательно выписывать коэффициенты в таблицу, соблюдая порядок
- Тщательно следить за вычислениями при заполнении второй строки
- Правильно выбрать число, на которое будет делиться многочлен, в зависимости от условия задачи
Если соблюдать эти несложные рекомендации, применение схемы Горнера не вызовет затруднений.
Когда использовать другие методы вместо схемы Горнера
Несмотря на эффективность, схема Горнера не всегда является оптимальным решением. В некоторых случаях имеет смысл использовать альтернативные методы.
Для очень простых многочленов
Если многочлен имеет малую степень (1 или 2) и состоит из небольшого числа членов, проще сразу подставить значение переменной вместо применения схемы Горнера.
Чтобы найти все корни сразу
Схема Горнера позволяет находить корни многочлена только последовательно. Чтобы сразу найти все корни, удобнее использовать метод разложения на множители.
То есть, в зависимости от конкретной задачи имеет смысл применять и другие методы работы с многочленами. Но для быстрого вычисления значений и поиска отдельных корней схема Горнера остается наиболее эффективным инструментом.
В этом кратком обзоре мы разобрали основные преимущества схемы Горнера, алгоритм ее применения на практике и типичные ошибки. Теперь вычисление многочленов не должно вызывать затруднений!
