Тангенс – одна из основных тригонометрических функций наряду с синусом и косинусом. В данной статье мы подробно разберем, что такое тангенс угла в тригонометрии, как вычислить его и для чего он используется.
Рассмотрим определение, формулы, график функции и применение тангенса при решении задач и уравнений. Также объясним связь тангенса с тригонометрической окружностью.
Если у тебя возникнут вопросы в процессе изучения, задавай их в комментариях!
Что такое тангенс угла
Тангенс угла - одна из основных тригонометрических функций наряду с синусом, косинусом и котангенсом. Рассмотрим прямоугольный треугольник с углом α. Тогда тангенс этого угла определяется как отношение длины противолежащего катета (лат. contrarius - противоположный) к длине прилежащего катета (лат. jacens - лежащий рядом), то есть
- Противолежащий катет - это катет, лежащий напротив рассматриваемого угла.
- Прилежащий катет - это катет, образующий рассматриваемый угол.
- Гипотенуза - сторона треугольника, лежащая напротив прямого угла.
Таким образом, определение тангенса угла можно записать следующим образом:
| Тангенс угла α | tg α = BC/AB |
где BC - длина противолежащего катета, AB - длина прилежащего катета. Иными словами, тангенс угла равен отношению длины противолежащего катета к длине прилежащего катета. Это определение крайне важно знать и запомнить.
Вычисление тангенса по формуле
Для вычисления значения тангенса угла по известным элементам треугольника можно воспользоваться формулой определения тангенса:
| Тангенс угла α | tg α = BC/AB |
где BC - длина противолежащего катета, AB - длина прилежащего катета. Рассмотрим пример. Дан прямоугольный треугольник с катетами длиной 5 см и 3 см. Требуется найти тангенс угла α. По формуле определения тангенса получаем:
| tg α | = BC/AB | = 5 см / 3 см | = 5/3 |
Ответ: tg α = 5/3. Итак, формула для вычисления тангенса угла в прямоугольном треугольнике довольно проста - это отношение длин противолежащего и прилежащего катетов. При использовании этой формулы следует правильно определить, какой катет является противолежащим, а какой - прилежащим по отношению к заданному углу.
Тангенс и тригонометрическая окружность
Тригонометрическая окружность - это единичная окружность с центром в начале координат. Радиус такой окружности равен 1. Она используется для геометрической интерпретации тригонометрических функций, в том числе тангенса.
Рассмотрим произвольную точку A на тригонометрической окружности и построим из центра окружности O радиус OA. Этот радиус образует с положительным направлением оси абсцисс угол α. Тогда для данного угла можно записать:
| sin α | = OT/OA (OT - длина отрезка OT) |
| cos α | = OX/OA (OX - длина отрезка OX) |
| tg α | = OT/OX |
Поскольку OA = 1, то формулы упрощаются:
| sin α = OT | cos α = OX |
| tg α | = OT/OX |
Таким образом, на тригонометрической окружности тангенс угла равен отношению длины противолежащего катета OT к длине прилежащего катета OX, что полностью согласуется с определением тангенса. Это позволяет наглядно представить геометрический смысл тангенса.
Применение тангенса при решении задач
На первый взгляд тангенс представляет собой сугубо теоретическую функцию, не имеющую широкого практического применения. Однако это не совсем так. Тангенс так же, как и другие тригонометрические функции, применяется для решения прикладных задач, в частности тех, которые связаны с вычислением элементов различных геометрических фигур.
В качестве примера рассмотрим задачу на применение определения тангенса. На высоте 5 м над вершиной идеально конической башни находится горизонтальная площадка. Угол наклона образующей конуса равен 30°. Определить высоту башни. Решение: составим чертеж сечения конической башни, обозначим элементы. По условию α = 30°.
Из «определения тангенса» для прямоугольного треугольника имеем: tg α = BC/AB, где BC - противолежащий катет, AB - прилежащий катет. В нашем случае BC = h - высота всей башни, AB = 5 м - расстояние от верхней площадки до вершины башни. Подставляя числовые значения, получаем:
| tg 30° | = BC/AB | = (h - 5)/5 |
Особые точки функции тангенс
При анализе функции тангенс наряду с областью определения важно рассмотреть так называемые особые точки или точки разрыва. Это такие значения аргумента, в которых функция тангенс не определена или претерпевает разрыв.
Вспомним из определения тангенса, что tg α = BC/AB, где BC - противолежащий катет, AB - прилежащий катет. Очевидно, что при AB = 0 дробь BC/AB теряет смысл. Геометрически это соответствует случаю, когда прилежащий катет обращается в точку, а сам треугольник вырождается в отрезок BC. Таким образом, значения угла α, когда прилежащий катет равен нулю, являются точками разрыва функции тангенс.
Из тригонометрической окружности видно, что прилежащий катет обращается в точку при α = 90° + k·180°, где k - любое целое число. Следовательно, точки разрыва функции тангенс:
- α = 90°
- α = 270°
- α = 450°
- и т.д. с шагом 180°
Помимо точек разрыва, у функции тангенс имеются асимптоты - прямые, к которым бесконечно приближается график функции. Асимптотами tg α являются прямые α = 0° и α = 180°.
Свойства тангенса угла
Как и у любой другой тригонометрической функции, у тангенса есть ряд важных свойств, вытекающих из его определения и геометрического смысла. Рассмотрим основные из них.
Знаки тангенса
Тангенс угла от 0° до 180° положителен. Это связано с тем, что на этом интервале противолежащий катет лежит выше оси абсцисс в тригонометрической окружности.
Тангенс угла от 180° до 360° отрицателен. Здесь противолежащий катет лежит ниже оси абсцисс, поэтому значение tg α меньше нуля.
Периодичность
Функция тангенс периодична с периодом 180°, т.е. tg (α + 180°) = tg α. Действительно, при повороте радиуса вектора на 180° противолежащий и прилежащий катеты меняются местами, но их отношение остается прежним.
Тангенс углов в 30, 45 и 60 градусов
В тригонометрии принято выделять значения тангенса для углов 30°, 45° и 60°. Эти значения называются табличными, так как они используются наиболее часто. Рассмотрим подробнее, откуда берутся эти значения и как их можно получить из определения тангенса.
- Тангенс 30°
Возьмем треугольник со сторонами, равными соответственно 1, √3 и 2 (такой треугольник является половиной равностороннего с длиной стороны 2). Тогда по теореме Пифагора: (2)^2 = (1)^2 + (√3)^2. Из этого треугольника по формуле определения имеем:
| tg 30° | = BC/AB | = √3/1 | = √3 |
- Тангенс 45°
Рассмотрим равнобедренный треугольник с углом 45° между боковыми сторонами длиной по 1. Тогда из теоремы Пифагора имеем: гипотенуза равна √2. Подставляя это в формулу tg α, находим:
| tg 45° | = BC/AB | = 1/1 | = 1 |
