Априорная вероятность - одно из фундаментальных понятий теории вероятностей и математической статистики. От правильного определения априорной вероятности часто зависят важные практические выводы и решения в медицине, экономике, науке и других областях.
Определение априорной вероятности
Априорная вероятность - это вероятность события до получения новой информации, относящейся к этому событию. Например, вероятность того, что завтра будет солнечно, основанная только на статистике за прошлые годы для этого дня, является априорной. А уже с учетом сегодняшнего прогноза погоды эта вероятность станет апостериорной.
Формальное определение априорной вероятности выглядит так:
Априорная вероятность P(A) - это вероятность некоторого случайного события A до получения данных, связанных с этим событием.
Понятие априорной вероятности тесно связано с теоремой Байеса. Согласно этой теореме, априорная вероятность умножается на правдоподобие гипотезы при заданных данных. В результате мы получаем апостериорную вероятность, то есть вероятность гипотезы с учетом новой информации.
Виды априорных распределений
Различают несколько основных видов априорных распределений вероятностей:
- Информативные априорные распределения - отражают конкретную информацию о случайной величине
- Неинформативные априорные распределения - отражают размытую или общую информацию
- Сопряженные априорные распределения - упрощают вычисления
- Равномерное распределение - частный случай неинформативного распределения согласно принципу безразличия
Рассмотрим некоторые примеры.
Информативное априорное распределение для температуры воздуха завтра в полдень можно задать с помощью нормального распределения. Его математическое ожидание примем равным температуре сегодня в полдень, а дисперсию - равной ежедневной дисперсии температуры за прошлые годы.
Неинформативное априорное распределение часто задают с помощью априорной вероятности Джеффриса. Для одномерного параметра оно имеет вид:
P(θ) ~ √I(θ)
где I(θ) - информация Фишера о параметре θ.
Особенностью априорного распределения Джеффриса является инвариантность к выбору системы параметров. Это важное практическое свойство.
Вычисление априорной вероятности
Для вычисления априорной вероятности применяют:
- Статистические методы на основе прошлых данных
- Экспертные оценки специалистов в предметной области
- Методы машинного обучения, в том числе обучение с подкреплением
Потенциальной ошибкой при определении априорной вероятности является ее субъективизация, то есть чрезмерное влияние личных предпочтений лица, вычисляющего эту вероятность.
На практике зачастую приходится комбинировать разные подходы, чтобы получить наиболее точную оценку.
Применение априорной вероятности
Априорные вероятности и априорные распределения применяют в самых разных областях:
- В медицине - априорная вероятность диагноза
- В юриспруденции - оценка виновности или невиновности
- В экономике и финансах - прогнозирование рыночной конъюнктуры
- В науке - планирование экспериментов
- В повседневной жизни - принятие решений в условиях неопределенности
Рассмотрим некоторые примеры более подробно.
В медицине врачи часто сталкиваются с необходимостью поставить диагноз пациенту, имея ограниченную информацию о симптомах. Априорные вероятности различных заболеваний позволяют сделать предварительную оценку наиболее вероятных причин недомогания еще до проведения дополнительных анализов и обследований. Затем, по мере получения новых данных о пациенте, эти вероятности уточняются.
В экономике априорные распределения необходимы, например, для оценки ожидаемых убытков и прибыли при разработке новых проектов в условиях неопределенности.
Даже в повседневной жизни мы постоянно применяем интуитивные представления об априорных вероятностях. Например, выбирая дорогу по навигатору, мы учитываем вероятность пробок в разное время суток, основываясь на личном прошлом опыте.
Априорные вероятности в науке
Как уже отмечалось, априорные вероятности играют важную роль в научных исследованиях. Рассмотрим некоторые конкретные примеры.
При планировании экспериментов ученые опираются на априорные распределения изучаемых параметров, чтобы оценить необходимый объем выборки, продолжительность эксперимента и требуемую точность измерений. Чем более информативно априорное распределение, тем точнее можно спланировать эксперимент.
Байесовский подход в статистике
Методология байесовской статистики как раз и базируется на последовательном уточнении априорных распределений по мере поступления все новых данных. С каждой порцией информации априорная плотность вероятности обновляется и превращается в апостериорную, которая в свою очередь становится априорной для следующего этапа анализа.
Машинное обучение
В задачах машинного обучения априорные распределения задают начальные "знания" алгоритмов о статистических свойствах данных. Это позволяет ускорить процесс обучения и сделать его более стабильным.
Философские дискуссии об априорных вероятностях
В философии и методологии науки ведутся дискуссии о природе и обоснованности априорных вероятностей.
Один из важных вопросов - можно ли говорить о существовании неких "объективных" или "логических" априорных вероятностей, не зависящих от субъективных представлений конкретного исследователя?
"Объективный" и "субъективный" байесианизм
Существуют две основные позиции по этому вопросу:
- "Объективный байесианизм" - утверждает, что объективные логические априорные вероятности возможны во многих прикладных задачах
- "Субъективный байесианизм" - считает, что априорные распределения по сути всегда отражают субъективные мнения исследователя
Этот философский спор до сих пор не имеет однозначного решения и остается предметом дискуссий.
Часто задаваемые вопросы
Рассмотрим некоторые типичные вопросы, возникающие при изучении априорных вероятностей.
Как быть, если априорная вероятность равна нулю?
Если по каким-то причинам в модели задано, что априорная плотность вероятности некоторого события равна нулю, то это событие никогда не произойдет. В таких ситуациях нужно либо пересмотреть модель, либо исключить это событие из рассмотрения как принципиально невозможное.
Можно ли обойтись без априорных вероятностей?
Теоретически можно попытаться полностью опираться на данные, но на практике это сопряжено с рядом сложностей. Априорные знания позволяют компенсировать недостаток информации и ускорить сходимость статистических методов.
