Эпюры являются важным инструментом при проведении инженерных расчетов и проектировании конструкций. Они позволяют наглядно представить распределение различных физических величин по длине или площади объекта.
Основные определения
Что такое эпюры? По сути, эпюра представляет собой график, на котором по оси абсцисс откладывается длина объекта, а по оси ординат - значение интересующей нас величины в заданном сечении.
Наиболее часто с помощью эпюр изображают:
- Распределение усилий в элементах конструкций (эпюры продольных и поперечных сил, изгибающих моментов)
- Распределение напряжений
- Деформации (перемещения, углы поворота сечений)
Иногда термин "эпюра" используют в более узком смысле - для обозначения именно эпюр усилий. Однако в целом это понятие шире и подразумевает графическое представление распределения любых интересующих физических величин.
Зачем нужны эпюры в расчетах
Основная цель использования эпюр - наглядное представление результатов расчета. График позволяет быстро оценить характер изменения величины по длине элемента, выявить наиболее нагруженные зоны.
К примеру, по эпюре изгибающих моментов можно определить опасные сечения балки и подобрать оптимальное поперечное сечение с учетом действующей нагрузки. А эпюра напряжений наглядно демонстрирует уровень нагруженности в различных точках конструкции.
Таким образом, основное предназначение эпюр:
- Визуализация результатов расчета усилий и напряжений
- Определение опасных сечений и выявление зон концентрации напряжений
- Подбор оптимальной геометрии поперечных сечений
- Обеспечение прочности при минимальном расходе материала
Общие правила построения
При построении эпюр используются определенные условные обозначения и правила:
- По оси абсцисс откладывается длина рассматриваемого элемента (балки, стержня и т.д.)
- Слева указывается условное наименование эпюры (например, M - изгибающий момент) и размерность
- Отмечаются характерные точки и границы участков нагружения
- Значения величин, направленные вверх, откладываются выше оси абсцисс, а направленные вниз - ниже
- Наибольшие положительные и отрицательные значения обводятся кружком и отмечаются знаком соответственно "+" и "-".
Помимо этого, при построении эпюр необходимо придерживаться определенной последовательности расчета для каждого типа задачи.
Этапы построения эпюры продольных сил
Рассмотрим подробнее этапы построения эпюры продольных сил в стержневой системе:
- Задаем расчетную схему и нагрузки
- Определяем реакции опор
- Разбиваем стержень на характерные участки
- Записываем уравнение равновесия для каждого участка
- Находим численные значения продольной силы в характерных сечениях
- Строим эпюру, откладывая полученные значения на графике
Рассмотрим конкретный пример построения эпюры продольных сил в двухопорной балке, загруженной сосредоточенной силой:
В данном случае имеем два характерных участка - слева и справа от точки приложения нагрузки. Для каждого участка записываем уравнение равновесия с учетом знаков (+) или (-) в зависимости от направления силы:
Откладываем полученные значения на эпюре и соединяем плавной кривой:
Аналогичным образом строятся эпюры и для более сложных систем, в том числе рам, ферм и других конструкций. Порядок расчета остается таким же, меняются лишь особенности записи уравнений равновесия.
В дальнейшем, уже построенная эпюра продольных сил используется для нахождения эпюр напряжений, а затем и перемещений.
Особенности построения эпюр напряжений
После того, как построена эпюра продольных сил, можно перейти к нахождению эпюры нормальных напряжений в поперечных сечениях стержня. Для этого используется следующая формула:
где:
- σ - нормальное напряжение в данном сечении
- N - продольная сила в этом же сечении (берется из уже построенной эпюры N)
- A - площадь поперечного сечения в этой точке
Таким образом, зная продольную силу и площадь сечения, можно рассчитать напряжение в любой точке стержня. Что такое эпюры в этом случае демонстрируют наглядно? Они показывают, в каких именно сечениях возникает наибольшее напряжение при данной схеме нагружения.
Отличие от эпюры продольных сил заключается в том, что напряжения зависят от площади поперечного сечения в каждой точке. Поэтому при переменной площади сечения по длине характер распределения напряжений может существенно отличаться от эпюры продольных сил.
Пример расчета эпюры напряжений
Возьмем в качестве примера тот же стержень, что и при построении эпюры N. Допустим, площадь поперечного сечения в средней части в 2 раза больше, чем по краям:
Тогда, подставив значения продольных сил из ранее построенной эпюры и площадей сечения, получим:
- На участке 1: N = 10 кН, A = 100 см2, отсюда σ = N/A = 10/100 = 0.1 МПа
- На участке 2: N = 20 кН, A = 200 см2, отсюда σ = N/A = 20/200 = 0.1 МПа
- На участке 3: N = -10 кН, A = 100 см2, отсюда σ = N/A = -10/100 = -0.1 МПа
Что такое эпюры показывают в данном случае? Несмотря на то, что продольные силы на среднем участке выше, напряжение здесь такое же, как и на краях, поскольку увеличена площадь сечения. Таким образом, концентрации напряжений удается избежать.
Особенности построения эпюр перемещений
Эпюра перемещений (прогибов) поперечных сечений строится на основании уже известных нам эпюр - продольных сил или изгибающих моментов в зависимости от вида нагружения (растяжение/сжатие или изгиб). Что такое эпюры в данном случае? Они характеризуют деформированное состояние конструкции.
При расчете эпюры перемещений для каждого участка вычисляется его абсолютная или относительная деформация, затем находят перемещения последовательных сечений, суммируя деформации предыдущих участков от нулевой отметки (положения закрепления).
Определение перемещений при растяжении/сжатии
Рассмотрим порядок построения эпюры прогибов при растяжении/сжатии на примере стержня, загруженного осевой силой. Напомним, что ранее для него были построены эпюры продольных сил и напряжений.
- Строим эпюру продольных сил N(x)
- Для каждого участка вычисляем относительные деформации как ε(x) = N(x)/EA, где E - модуль упругости, A - площадь поперечного сечения
- Вычисляем абсолютные деформации (удлинения/укорочения) каждого участка как произведение его длины на относительную деформацию
- Суммируем деформации предыдущих участков, начиная от нулевой отметки (закрепления), для нахождения прогибов последовательных сечений
- Строим эпюру прогибов w(x)
Принцип суммирования деформаций при расчете перемещений используется и в более сложных случаях.
Эпюры при изгибе балок
В отличие от растяжения/сжатия, при изгибе перемещения определяются по эпюре изгибающих моментов M(x). На каждом участке вычисляется кривизна балки, затем по тому же принципу суммируются прогибы предыдущих сечений для нахождения абсолютных перемещений характерных точек.
Отличительной особенностью является нелинейный (квадратичный) характер эпюры перемещений на участках с распределенной нагрузкой. Это объясняется тем, что изгибающий момент здесь изменяется линейно.
Построение эпюр в системах с несколькими плоскостями нагрузки
Для пространственных конструкций, таких как многоэтажные здания или ажурные металлические фермы, нагрузки могут действовать сразу в нескольких плоскостях. В таких случаях для полного анализа напряженно-деформированного состояния требуется рассматривать эпюры усилий и напряжений отдельно в каждой из плоскостей действия нагрузки.
Особенности построения эпюр в пространственных конструкциях
Рассмотрим подробнее этапы построения эпюр для пространственных стержневых систем:
- Разделяем пространственную конструкцию на отдельные плоские рамы или отдельные элементы (стержни)
- Для каждого элемента выделяем плоскости действия нагрузок
- Строим эпюры внутренних усилий в каждой плоскости
- Для получения результирующих усилий в стержне суммируем эпюры из разных плоскостей по правилам сложения векторов
- Выполняем проверки прочности и жесткости по наиболее нагруженным сечениям
Таким образом получаем полное представление о напряженно-деформированном состоянии сложных пространственных систем при действии произвольных нагрузок.
Графоаналитический метод расчета перемещений
Помимо аналитических методов, перемещения стержневых систем можно определить графически - путем построения так называемых эпюр Мора. В основе метода лежит принцип возможных перемещений, позволяющий для статически определимой конструкции построить единственно возможную форму деформирования.
Эпюры Мора имеют большое значение при расчете сложных пространственных систем, поскольку дают наглядное графическое решение задачи. К недостаткам можно отнести большую трудоемкость.
Компьютерные методы построения эпюр
В настоящее время расчет эпюр внутренних усилий, напряжений и перемещений чаще всего выполняется с использованием специализированных программных комплексов на основе метода конечных элементов.
