Рациональные выражения - неотъемлемая часть школьного курса алгебры. Но что же они из себя представляют на самом деле и зачем их нужно изучать?
1. Понятие рационального выражения
Рациональным выражением называется выражение, состоящее из чисел, переменных, арифметических операций (+, -, *, /) и операции возведения в степень.
Например:
- 3x + 5
- (2y - 1) / 3
- (a + b)2
Особенности рационального выражения:
- Могут содержать числа и переменные
- Могут содержать арифметические операции и возведение в степень
- Не могут содержать корни, логарифмы, тригонометрические функции
Рациональное выражение отличается, например, от иррационального наличием корня. Также от тригонометрического - отсутствием тригонометрических функций.
2. Виды и свойства
Рациональные выражения делятся на целые и дробные. Давайте разберемся в их особенностях.
Целые выражения
Целыми называются выражения, состоящие из чисел, переменных и арифметических операций без деления на переменную. Например:
- 5x + 7
- 3(a - 2b)
Дробные выражения
Дробные выражения содержат деление на выражение с переменной. Например:
- (3x + 5) / (x - 2)
- 2y / (y2 - 4)
К дробным выражения относятся также рациональные дроби - дроби, у которых и числитель, и знаменатель являются многочленами:
- (x2 + 1) / (x - 3)
У дробных выражений есть важное свойство - рациональное значение выражения имеет смысл, только если знаменатель не равен нулю. Это нужно учитывать при вычислениях и решении уравнений.
На этом основные виды и свойства рациональных выражений мы разобрали. Далее перейдем к важной теме - их преобразованиям.
3. Преобразования рациональных выражений
Под преобразованием рационального выражения понимают запись его в эквивалентном, но более простом и удобном для дальнейшей работы виде.
Основные виды преобразований:
- Приведение к общему знаменателю
- Сокращение дробей
- Сложение, вычитание, умножение и деление дробей
Знание основных приемов преобразования рациональных выражений позволяет существенно облегчить работу с ними. А главное - подготовить их для дальнейшего применения.
4. Применение рациональных выражений
На практике рациональные выражения используются:
- При решении рациональных уравнений
- Для нахождения неизвестного значения в формулах
- В текстовых задачах на движение, смеси, сплавы и т.д.
Рассмотрим конкретный пример.
Нужно найти путь автомобиля, если известно, что на первых 20 км пути его средняя скорость составила 60 км/ч, а на оставшейся части пути - 40 км/ч. Вся поездка заняла 1 час.
Запишем это в виде рационального выражения:
где S1 - путь за первые 20 км, S2 - путь за оставшееся время. Решая это выражение, находим искомое значение пути S = 80 км.
Так видно, что умение оперировать рациональными выражениями позволяет решать практические задачи из разных областей.
5. Ошибки при работе с рациональными выражениями
Несмотря на кажущуюся простоту, при работе с рациональными выражениями часто допускаются типичные ошибки. Рассмотрим их подробнее.
Нарушение порядка действий
Например, при вычислении выражения сначала выполняются операции в скобках, затем умножение и деление слева направо, и только после этого сложение и вычитание:
3(x + 2) - 2x / 4 + 7 = сначала 3(3) - 2 · 1 / 4 + 7 = 9 - 0,5 + 7 = 15,5
Деление на нуль
Ошибка возникает, если при нахождении значения дробного выражения знаменатель обращается в нуль. Например:
(x2 - 4) / (x + 2) при x = -2 делится на нуль, что запрещено.
Неправильное сокращение
Иногда после раскрытия скобок или приведения подобных слагаемых ученики ошибочно сокращают выражение. Правильнее сначала привести подобные, а уже потом сокращать!
6. Советы по работе с рациональными выражениями
Чтобы избежать типичных ошибок, рекомендуем придерживаться следующих советов:
- Строго соблюдать порядок действий
- Не делить на нуль и учитывать ОДЗ
- Сначала приводить подобные, потом сокращать
- Проверять ответ подстановкой в исходное выражение
Придерживаясь этих несложных правил, можно существенно снизить вероятность ошибок.
