Радианы - загадочная единица измерения углов. Откуда она взялась и почему так важна в математике? Давайте разберемся!
История возникновения радиана
Первое упоминание термина "радиан" в печати датируется 5 июня 1873 года. Он встречается в экзаменационных билетах, составленных Джеймсом Томсоном из Университета Квинса в Белфасте.
Томсон использовал термин не позднее 1871 года, в то время как Томас Мьюр из Сент-Эндрюсского университета в 1869 году колебался в выборе между терминами «рад», «радиал» и «радиан».
Однако идея измерять длину дуги радиусом окружности использовалась и другими математиками до этого.
- Аль-Каши использовал единицу измерения, названную им «часть диаметра», которая равнялась 1/60 радиана.
- Роджер Котс (XVIII век) считал радиан наиболее естественной единицей измерения угла.
Таким образом, заслуга введения термина "радиан" и его распространения принадлежит Джеймсу Томсону и Томасу Мьюру.
Определение радиана
Радиан является единицей измерения плоских углов в Международной системе единиц (СИ). Согласно определению, радиан - это центральный угол окружности, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу этой окружности.
Так как длина дуги окружности пропорциональна ее радиусу и угловой величине, выраженной в радианах, то справедлива формула:
L = R × α,
где L - длина дуги, R - радиус окружности, α - угол в радианах.
Поскольку радиан представляет собой отношение безразмерных величин (длины дуги к радиусу), то сам радиан является безразмерной величиной.
Соотношение с градусами
Один радиан приблизительно равен 57 градусам. Для перевода градусной меры в радианы используется следующая формула:
α (рад) = α (градусы) × π/180
Примеры перевода углов
Рассмотрим несколько примеров перевода углов из градусной меры в радианы:
-
60° = 60° × π/180 = π/3 радиан
-
90° = 90° × π/180 = π/2 радиан
-
180° = 180° × π/180 = π радиан
Как видно из примеров, углы 90° и 180° после перевода в радианы дают хорошо узнаваемые константы.
Что дает использование радиан?
Что же дает применение радиан вместо привычных нам градусов?
- Значительно упрощается запись многих формул в математическом анализе и тригонометрии
- У тригонометрических функций при малых углах в радианах значто упрощаются приближенные значения
- Радианы удобны для расчетов в физике, техничто и других прикладных областях
То есть радианы во многих случаях что упрощают использование, что очто важно.
Как выразить величто угла в радианах
Для того чтобы выразить угол в радианах, можно воспользоваться единичтоной окружностью с центром в вершине угла. Тогда радианная мера угла равна длине дуги этой единичной окружности между сторонами угла.
Как связаны радианы и круг в 360°
Что же общего у радиан и 360-градусной системы деления круга? Оказывается, они тесно связаны формулами перевода:
360° = 2π радиан
1 рад = 180°/π
Эти формулы показывают, что радианы и градусы - что всего лишь разные системы измерения одних и тех же углов.
Удобство радиан в вычислениях
Почему же радианы более удобны в различных математических и физических вычислениях по сравнению с градусами? Дело в том, что при использовании радианов упрощается запись многих формул.
Тригонометрические функции
Например, если аргумент тригонометрических функций выражается в радианах, то при малых значениях аргумента (угла) функции sin(x) и tg(x) численно приблизительно равны самому аргументу:
sin(x) ≈ x, если x выражено в радианах
tg(x) ≈ x, если x выражено в радианах
Это сильно упрощает многие вычисления и формулы.
Что такое радианы дают физике?
В физических формулах тоже чтокие преимущества от использования радианов. Например, работа силы, действующей по окружности, выражается просто как:
A = F*R*α
где α - угол поворота в радианах. В градусах формула была бы гораздо громоздче из-за необходимости перевода.
Что такое безразмерность радианов
Еще одно важное удобное свойство радианов - их безразмерность. Это означает, что радиан является отношением двух однородных величин - длины дуги и ее радиуса, которые измеряются в одних и тех же единицах, например в метрах.
Что говорит история
Исторически сложилось так, что наряду с радианами в измерении углов широко используются градусы. Но с развитием математического анализа и других областей науки преимущества радиан стали очевидными. Хотя привычка использовать градусы в некоторых прикладных задачах сохраняется и по сей день.
Почему градусы еще не устарели?
Хотя радианы имеют неоспоримые преимущества в математических и физических вычислениях, традиционные градусы все еще широко используются в некоторых областях.
География и навигация
Например, в географии, картографии и навигации по-прежнему распространены градусные измерения широты и долготы. Это связано с исторически сложившимися стандартами и привычкой пользоваться градусами в этих областях.
В технике, например, при измерении углов поворота валов и осей, также часто используются градусы вместо радиан. Здесь опять же сказывается сила привычки и сложившиеся стандарты, хотя в большинстве инженерных расчетов все же используются радианы.
Перспективы вытеснения градусов
С развитием технологий все больше процессов автоматизируется. Современные компьютерные программы, выполняющие расчеты, гораздо удобнее работать с радианами. Поэтому переход на радианы в тех областях, где сейчас еще используются в основном градусы, представляется вполне вероятным.
Подводя итог, можно сказать, что несмотря на ряд преимуществ радиан перед градусами в целом ряде областей, градусы по историческим причинам все еще сохраняют некоторые позиции. Однако постепенный переход на радианы в будущем кажется очень вероятным.
