Квадратные корни - одна из самых сложных тем школьного курса алгебры. Но овладеть методами решения примеров с корнями по силам каждому, если следовать простым правилам и много тренироваться.
1. Что такое квадратный корень и его основные свойства
Квадратным корнем из неотрицательного числа a называется такое неотрицательное число x, квадрат которого равен a:
x2 = a, где x ≥ 0, a ≥ 0
Например, квадратный корень из 9 равен 3, так как 32 = 9. Обозначается √9 = 3.
У квадратного корня есть несколько важных свойств, которые помогают в решении примеров с корнями:
- Корень из произведения равен произведению корней: √ab = √a ∙ √b
- Корень из дроби равен дроби корней: √(a/b) = √a/√b, где b ≠ 0
- Корень в степени равен корню из числа в этой степени: (√a)n = √an
Эти свойства помогают значительно упрощать сложные выражения с корнями.
Например, применим свойство корня из произведения:
√12 = √4 ∙ 3 = 2√3
И свойство корня из дроби:
√(9/4) = √9/√4 = 3/2
2. Как выносить множитель из-под знака корня
Часто под знаком квадратного корня стоит не просто число, а выражение. Например:
√25x
Здесь 25 = 52. Поэтому можно вынести 5 из под знака корня:
√25x = 5√x
Это называется вынесением множителя из подкоренного выражения. Выносить можно только множители, которые являются квадратами целых чисел (1, 4, 9, 16 и т.д.).
Рассмотрим несколько примеров вынесения множителя из-под корня:
- √144y2 = 12√y
- √1296x4y6 = 36x2y3
- √16a2b2 = 4ab
Можно выносить не только числа, но и переменные. Для этого нужно записать переменную в виде дроби со знаменателем 1:
√x5 = (x5/1)1/2 = x5/2
И несколько примеров:
- √a5 = a5/2
- √x3y7 = x3/2y7/2
Таким образом, вынесение множителя из подкоренного выражения позволяет значительно его упростить.
3. Как вносить множитель под знак корня
Помимо вынесения множителей из-под корня, бывает необходимо и обратная операция – внесение множителя под знак корня.
Например, имеется выражение √9. Мы знаем, что √9 = 3. Значит, можем записать:
√9 = 3√1
Число 3 мы как бы "спрятали" под корнем. Это и есть внесение множителя под знак квадратного корня.
Вносить под знак корня можно только положительные числа, которые в квадрате дают подкоренное число. Рассмотрим несколько примеров:
- √4 = 2√1
- √100 = 10√1
- √81 = 9√1
Такое преобразование часто упрощает дальнейшие вычисления и позволяет решать пример с корнем.
4. Как сравнивать числа с корнями
Для решения многих задач необходимо уметь сравнивать числа, содержащие квадратные корни. Это важно, например, при решении неравенств или построении графиков функций.
Воспользуемся свойством внесения множителя под корень. Например, нужно сравнить:
3√7 и 2√17
Применим свойство:
3√7 = √49
2√17 = √34
Так как 49 > 34, то и 3√7 > 2√17
Аналогично можно сравнить любые два выражения, содержащие корни. Это очень важный навык, позволяющий решать пример с корнем без использования калькулятора.
5. Как решать текстовые задачи с корнями
Рассмотрим несколько примеров решения текстовых задач, содержащих квадратные корни.
Задача 1. Квадратное поле со стороной 1 км пересекается по диагонали. Найти длину этой диагонали.
Решение. Рассмотрим прямоугольный треугольник со сторонами 1 км и применим теорему Пифагора:
c2 = 12 + 12
c2 = 2
c = √2 км
Ответ: длина диагонали равна √2 км.
Задача 2. Коробка имеет объем 64 см3. Найти длину ребра этой коробки, если все ее ребра равны.
Решение. Объем куба равен кубу ребра. Запишем это в виде формулы:
V = a3
Где V = 64 см3, а – длина ребра. Решаем это уравнение:
64 = a3
√64 = √a3
4 = a
Ответ: длина ребра коробки равна 4 см.
6. Методика решения примеров с квадратными корнями
Чтобы успешно решать примеры с корнями необходимо:
- Знать определение и основные свойства квадратного корня
- Уметь применять эти свойства для упрощения выражений
- Владеть навыками сравнения корней
- Решать много примеров для закрепления материала
Следуя этим простым рекомендациям, вы научитесь без труда решать пример с корнем даже при подготовке к ОГЭ или ЕГЭ.
7. Различные приемы упрощения выражений с корнями
Рассмотрим несколько полезных приемов, которые позволяют упростить сложные выражения с корнями.
Избавление от иррациональности в знаменателе дроби
Часто в знаменателе дроби стоит выражение, содержащее корень. Чтобы упростить дробь, нужно избавиться от этой "иррациональности".
Например:
1/(√5 + 2)
Умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю: √5 - 2. В результате получим рациональную дробь:
1/(√5 + 2) × (√5 - 2)/(√5 - 2) = (√5 - 2)/3
Группировка одночленов
Если под знаком корня стоит сумма одночленов, их можно сгруппировать следующим образом:
√(x + 3)2
Преобразуем:
√(x + 3)(x + 3) = |x + 3|
Абсолютная величина позволяет избавиться от корня.
Разложение на множители
Можно представить подкоренное выражение в виде произведения двух множителей. Например:
√12x2y
Запишем в виде:
√4 · 3 · x2 · y = 2√3xy
И применим свойство корня из произведения.
8. Типичные ошибки при решении примеров с корнями
Чтобы избежать ошибок, важно помнить несколько простых правил:
- Под знаком корня должно стоять только неотрицательное число
- Нельзя вносить под корень отрицательные числа
- При сравнении корней учитываем числа под знаками корней
- Не путать квадратные корни и решение квадратных уравнений
Следуя этим правилам и решая много примеров, вы сможете успешно подготовиться к контрольным и экзаменам по алгебре в 8 классе.
9. Развитие навыков работы с корнями
Чтобы прочно усвоить материал по теме "Квадратные корни" и научиться решать любые примеры, нужна систематическая тренировка:
- Ежедневная практика. Выделяйте 10-15 минут каждый день на решение примеров с корнями из сборника задач или учебника. Начинайте с простых выражений, постепенно усложняя их.
- Разбор ошибок. Анализируйте допущенные ошибки, выявляйте их причины. Повторно решайте аналогичные примеры, чтобы избежать повторения ошибок.
- Использование наглядности. Для лучшего понимания свойств корней стройте графики, рисуйте геометрические фигуры, иллюстрирующие формулы.
- Последовательное усложнение. Постепенно увеличивайте сложность примеров: сначала 1-2 действия с корнями, затем 3 и более. Включайте текстовые задачи, содержащие корни.
- Разнообразие форматов заданий. Используйте тренажеры, онлайн-тесты, интерактивные задания. Чередуйте вычисления на бумаге и на компьютере.
Следуя этим рекомендациям, за 2-3 недели интенсивных занятий вы добьетесь отличных результатов!
