Формула Вейсбаха-Дарси - это фундаментальная зависимость в гидравлике, позволяющая рассчитывать потери напора или давления при движении жидкости по трубам. Эта формула была предложена в XIX веке двумя инженерами - Юлиусом Вейсбахом и Анри Дарси. С тех пор она прочно вошла в инженерную практику и до сих пор активно применяется при проектировании систем водоснабжения, отопления, канализации и многих других.
История создания формулы Вейсбаха-Дарси
Немецкий инженер Юлиус Вейсбах в 1855 году на основе экспериментов предложил эмпирическую формулу для расчета потерь напора при турбулентном течении жидкости в трубах. Эта формула имела вид:
Δh = λ*(V^2/(2*g))
где Δh - потери напора, λ - коэффициент гидравлического трения, V - скорость потока, g - ускорение свободного падения.
Через два года, в 1857 году, французский инженер Анри Дарси уточнил формулу Вейсбаха, представив потери в виде перепада давления:
ΔP = ρ*λ*(V^2/2)
где ΔР - потери давления, ρ - плотность жидкости.
Так появилась знаменитая формула Вейсбаха-Дарси, которая и по сей день является одной из основных зависимостей при гидравлических расчетах трубопроводов.
Теоретические основы формулы Вейсбаха-Дарси
Формула Вейсбаха-Дарси базируется на уравнении Бернулли для потока жидкости, согласно которому:
P1/ρ + V1^2/2 + Z1 = P2/ρ + V2^2/2 + Z2 + Σхпотерь
где P - давление в потоке, ρ - плотность, V - скорость, Z - высота точки по вертикали, Σхпотерь - сумма всех потерь напора на участке.
Потери напора Σхпотерь складываются из:
- Потерь на трение о стенки трубы хтр
- Потерь в местных сопротивлениях (колена, задвижки, расширения и т.д.) хм
Именно эти две составляющие и рассчитываются по формуле Вейсбаха-Дарси. Она справедлива для развитых турбулентных течений в трубах, когда потери пропорциональны квадрату скорости потока жидкости.
Для ламинарных или переходных режимов течения используются другие зависимости.
Коэффициент гидравлического трения
Коэффициент гидравлического трения λ является важнейшим параметром формулы Вейсбаха-Дарси. Он показывает, какая часть динамического напора теряется на трение о стенки трубы.
Для ламинарного режима течения коэффициент λ рассчитывается по формуле Пуазейля:
λ = 64/Re
где Re - число Рейнольдса.
При турбулентном режиме чаще используется формула Блазиуса:
λ = 0.316/Re^0.25
Она дает хорошие результаты для чисел Рейнольдса от Рекр до 10^5.
Для шероховатых труб λ определяют по эмпирическим графикам в зависимости от шероховатости стенок и диаметра трубы. Таким образом, коэффициент λ учитывает режим течения и гидравлическое сопротивление трения о стенки.
Зная λ, можно рассчитать потери напора хтр на трение и подобрать оптимальный режим работы трубопровода.
Коэффициент местных сопротивлений
Помимо потерь на трение о стенки трубы, в формуле Вейсбаха-Дарси учитываются также потери в местных сопротивлениях - коленах, тройниках, задвижках и других элементах трубопровода.
Для каждого вида местного сопротивления вводится безразмерный коэффициент ξ, который показывает, какая часть динамического напора теряется в данном элементе.
Например, при резком расширении трубы коэффициент ξ рассчитывается по формуле:
ξ = (S1/S2)^2 - 1
где S1 и S2 - площади сечения трубы до и после расширения.
При повороте трубы коэффициент ξ берется из специальных таблиц или графиков в зависимости от угла поворота.
Зная ξ и скорость потока V, можно рассчитать потери напора в каждом местном сопротивлении по формуле:
хм = ξ*(V^2/(2*g))
Практическое применение формулы Вейсбаха-Дарси
Формула Вейсбаха-Дарси широко используется в инженерной практике для расчета и проектирования различных трубопроводных систем.
Основные области применения:
- Расчет оптимальных диаметров трубопроводов;
- Подбор режимов работы насосов и компрессоров;
- Оценка потерь напора и выбор рациональной схемы трубопровода;
- Расчет систем водоснабжения, канализации, отопления зданий.
Например, при проектировании системы отопления здания по формуле Вейсбаха-Дарси рассчитывают диаметры труб, чтобы обеспечить нужный расход теплоносителя с минимальными потерями давления.
Вывод формулы Вейсбаха-Дарси
Формула Вейсбаха-Дарси была получена на основе обобщения экспериментальных данных о течении жидкости в трубах. По сути, это эмпирическая формула.
Тем не менее, ее можно теоретически вывести из уравнения Бернулли для потока жидкости, если сделать следующие допущения:
- Рассматривается развитое турбулентное течение;
- Потери напора пропорциональны квадрату скорости потока.
При этих допущениях после преобразований получаем формулу Вейсбаха-Дарси в общем виде.
Таким образом, эта формула имеет строгое теоретическое обоснование для определенных условий течения жидкости в трубах. На практике она хорошо согласуется с экспериментальными данными в области ее применимости.
Размерность формулы Дарси-Вейсбаха
Поскольку формула Вейсбаха-Дарси содержит различные величины, важно учитывать их размерность.
Размерность основных величин:
- Скорость V [м/с]
- Плотность ρ [кг/м3]
- Динамический напор V2/2 [м2/с2]
- Потери напора Δh [м]
- Потери давления ΔP [Па]
Подставляя размерности в формулу Вейсбаха-Дарси, можно убедиться, что левая и правая части уравнения имеют одинаковую размерность в каждом из вариантов для напора и давления.
Это подтверждает правильность вывода формулы Вейсбаха-Дарси с точки зрения размерностей физических величин.
