Правило сложения векторов: простой способ нахождения результирующего вектора

Что такое вектор? Как найти результирующий вектор при сложении нескольких векторов? В этой статье мы разберем простые правила сложения векторов и научимся находить итоговый вектор всего за несколько шагов!

Основные понятия

Вектор - это направленный отрезок, который задается длиной и направлением. Векторы используются для представления таких физических величин, как сила, скорость, ускорение.

Различают следующие типы векторов:

• Коллинеарные - лежат на одной прямой или параллельных прямых
• Неколлинеарные - не лежат на одной прямой
• Сонаправленные - имеют одинаковое направление
• Противоположно направленные - направлены в противоположные стороны

С векторами можно выполнять такие операции, как сложение, вычитание, умножение на число. Рассмотрим подробно правила сложения векторов.

Правила сложения коллинеарных векторов

Сложение сонаправленных векторов выполняется путем последовательного откладывания векторов. Результирующий вектор начинается в начальной точке первого слагаемого и заканчивается в конечной точке последнего (Рис. 1):

При сложении противоположно направленных векторов они откладываются из одной точки в разные стороны. Результатом является вектор, направленный в сторону большего вектора, а длина равна разности длин (Рис. 2):

Чтобы проверить правильность сложения коллинеарных векторов, достаточно измерить длину результирующего вектора и убедиться, что она равна сумме длин слагаемых.

Правило треугольника

Правило треугольника является универсальным способом нахождения суммы двух векторов. Согласно этому правилу, чтобы сложить векторы a и b, необходимо:

1. Из произвольной точки отложить вектор a
2. Из конца вектора a отложить вектор b
3. Построить вектор из начальной точки в конец вектора b. Этот вектор и есть сумма a + b

На рисунке показано правило сложения векторов для векторов a и b с получением вектора c = a + b:

Правило треугольника позволяет складывать любое количество векторов, последовательно откладывая очередной вектор из конца предыдущего.

Правило параллелограмма

Еще одним универсальным правилом для нахождения суммы двух и более векторов является правило параллелограмма. Оно заключается в следующем:

1. Из одной точки откладываются складываемые векторы
2. На концах этих векторов строятся параллельные им отрезки так, чтобы получился параллелограмм
3. Диагональ параллелограмма, исходящая из начальной точки, является суммой складываемых векторов

На рисунке продемонстрировано правило параллелограмма для сложения векторов a и b:

Особенностью этого правила является то, что оно позволяет складывать как коллинеарные, так и неколлинеарные векторы. Кроме того, с его помощью можно найти сумму любого числа векторов.

Сравнение правил сложения векторов

Рассмотренные выше правила треугольника и параллелограмма имеют свои преимущества и недостатки при вычислении суммы векторов:

Таким образом, при сложении двух векторов целесообразно использовать правило треугольника за счет его простоты, а при большем количестве векторов или при наличии неколлинеарных - правило параллелограмма.

Правило вычитания векторов

Чтобы найти разность двух векторов a и b, которая обозначается как c = a - b, можно воспользоваться следующими свойствами:

1. Разность векторов равна сумме первого вектора и противоположного второму вектору: c = a + (-b)
2. Чтобы построить противоположный вектор -b, нужно взять вектор b и повернуть его на 180°

Используя эти свойства и правила треугольника или параллелограмма, можно найти разность любых двух векторов. На рисунке показан пример вычитания векторов с помощью правила параллелограмма:

Здесь вектор -b является противоположным вектору b, а вектор c=a-b находится как диагональ параллелограмма, построенного на векторах a и -b.

Применение правила треугольника

Рассмотрим применение правила треугольника для сложения нескольких векторов на конкретном примере.

Даны векторы: a = (3, 4), b = (-2, 1), c = (5, -3). Требуется найти их сумму d = a + b + c.

1. Откладываем из начальной точки О вектор a, получаем точку A(3, 4)
2. Из точки A откладываем вектор b, получаем точку B(1, 5)
3. Из точки B откладываем вектор c, получаем точку C(6, 2)
4. Соединяем начальную точку О с конечной точкой C. Полученный вектор OC и есть искомая сумма d = a + b + c

Выполнив вычисления, находим: d = (6, 2).

Применение правила параллелограмма

Рассмотрим задачу нахождения суммы трех векторов с использованием правила параллелограмма:

Даны векторы: a = (4, 0), b = (2, 3), c = (-5, -1). Найти: d = a + b + c.

1. Из начальной точки O откладываем векторы a и b
2. На конце вектора b строим вектор b1, параллельный a
3. На конце вектора a строим вектор a1, параллельный b
4. Полученный параллелограмм Oaa1b1 позволяет найти сумму a + b по его диагонали Ob1
5. Аналогично откладываем из точки O вектор c и строим параллелограмм для нахождения суммы a + b + c

В результате находим итоговый вектор: d = (1, 2).

Рекомендации по применению

Чтобы успешно применять правила сложения векторов на практике, рекомендуется:

• Знать формулировки правил и этапы их применения
• Отрабатывать навыки на конкретных примерах
• Уметь выбрать подходящее правило в зависимости от условия задачи
• Контролировать правильность вычислений

Сложение векторов часто применяется при решении физических задач, например на нахождение равнодействующей нескольких сил. Поэтому владение правилами сложения векторов является очень важным умением.