Стереометрия - раздел геометрии, изучающий объемные фигуры и тела. Знание основных формул стереометрии крайне важно для школьников и студентов при решении задач ЕГЭ, олимпиад, вступительных экзаменов.
Формулы для куба и параллелепипеда
Куб - одна из простейших фигур в стереометрии. Это правильный многогранник, у которого:
- Все 6 граней являются квадратами
- Ребра и диагонали граней равны между собой
- Каждая грань перпендикулярна смежным граням
Параллелепипед похож на куб, но его грани могут быть не квадратами, а прямоугольниками. У параллелепипеда выделяют:
- Длину (обозначим через а)
- Ширину (b)
- Высоту или боковое ребро (c)
Давайте выведем формулу для вычисления объема куба или параллелепипеда. Разделим фигуру горизонтальными сечениями на тонкие слои высотой dh. Тогда объем одного слоя равен площади основания S, умноженной на высоту слоя dh:
Площадь основания куба или параллелепипеда постоянна для всех сечений и равна S = ab. Сложив объемы всех слоев от 0 до высоты c, получим формулу объема параллелепипеда:
V = S·c = ab·c
Для куба, у которого все ребра равны а, эта формула упрощается:
Vкуба = a3
По аналогии можно получить формулу площади поверхности. Для куба со стороной а она имеет вид:
S = 6·a2
А для параллелепипеда выглядит так:
S = 2·(ab + ac + bc)
Где ab, ac и bc - площади трех пар "смежных" граней. Для запоминания этих основных формул полезно решать задачи на вычисление объемов и площадей куба и параллелепипеда.
"Стереометрия формул" позволяет также находить различные элементы куба и параллелепипеда через заданные: например, высоту через объем и площадь основания и т.д. Это тоже важно уметь для решения олимпиадных задач.
Формулы для пирамиды и призмы
Пирамида - многогранник, у которого одна грань (основание) является многоугольником, а все боковые грани - треугольники с общей вершиной. Высота пирамиды - перпендикуляр из вершины к плоскости основания:
Призма напоминает параллелепипед, но ее основания могут быть не только прямоугольниками, а любыми (например треугольными или шестиугольными) многоугольниками.
"Стереометрию формулы площадей" данных фигур также выведем через их элементы - высоту, площадь и периметр оснований. Применим тот же прием "разбиения на слои", что у куба и параллелепипеда:
| Объем призмы | V = Sосн·h |
| Объем пирамиды | V = (1/3)·Sосн·h |
А площадь полной поверхности призмы равна сумме площадей всех ее граней:
- Площадь оснований
- Площадь боковой поверхности = Периметр основания · Высота призмы
Для пирамиды все боковые грани - равные треугольники, поэтому вычислять их площади надо отдельно. Например, для четырехугольной пирамиды:
S = Sосн + 4·Sбок.треуг.
Где Sбок.треуг. - площадь одного бокового треугольника пирамиды.
Есть также специальные формулы объема и площади для правильной пирамиды или призмы, у которых все грани и углы равны. В этом случае можно выразить элементы через сторону основания.
На этом основные формулы стереометрии для пирамид и призм даны. В следующем разделе рассмотрим цилиндр, конус, шар и другие фигуры.
Формулы для цилиндра, конуса и шара
"Основные формулы стереометрии" для этих фигур также важно знать. Начнем с цилиндра - это фактически призма, у которой оба основания являются кругами:
Радиус основания обозначим через R, а высоту цилиндра через h. Тогда, используя формулы площади круга и объема призмы, получаем:
Vцилиндра = Sкруга·h = πR2·h
Площадь полной поверхности складывается из площадей оснований и боковой поверхности:
S = 2πR2 + 2πRh
Конус: объем и площадь боковой поверхности
Конус можно рассматривать как пирамиду с круглым основанием. Соответственно, его элементами являются:
- Радиус основания R
- Высота конуса h
- Образующая - линия, соединяющая вершину конуса с окружностью основания
Для объема конуса справедлива та же формула, что и для пирамиды:
V = (1/3)·πR2·h
Площадь боковой поверхности конуса равна произведению длины окружности на образующую:
Sбок = πR·lобраз.
Шар и сфера: радиусы и объем
Сфера - это множество всех точек в пространстве, находящихся от центра на фиксированном расстоянии R. Это расстояние называют радиусом сферы.
Шар можно представить как многогранник с бесконечным числом граней. Для шара вводится также понятие диаметра d - это хорда, проходящая через центр шара. Связь радиуса и диаметра: d = 2R.
Вычисление объема шара
Для нахождения объема шара также воспользуемся методом "разрезания" на слои.
Объем сферы можно представить как сумму бесконечного числа конусов с общим основанием. Высота этих конусов стремится к нулю. Подставляя элементарные объемы в интеграл и вычисляя его, получаем знаменитую формулу:
V = (4/3)πR3
Запомнить эту формулу помогают различные мнемонические приемы. Например, "четыре трети пи ар в кубе".
