Математический анализ изучает поведение функций. Часто бывает важно определить, сходится функциональный ряд или нет. В статье рассматриваются эффективные критерии, позволяющие делать такие выводы. Эти признаки получили название по именам выдающихся математиков.
Признак Дирихле
Немецкий математик Лежен Дирихле внес большой вклад в теорию функций и рядов. В 1829 году он сформулировал условия сходимости интегралов и рядов, получившие название признака Дирихле .
Пусть функция f(x) интегрируема на интервале [a,b], а функция g(x) монотонно стремится к нулю при x→b. Тогда интеграл ∫ab f(x)g(x)dx сходится.
Аналогичные условия можно сформулировать и для рядов. Если частичные суммы ряда ограничены, а знаменатель стремится к нулю, то ряд тоже сходится.
На рисунке проиллюстрирована идея признака Дирихле для интегралов. Площадь под кривой ограничена сверху прямоугольником. При стремлении предела интегрирования к бесконечности высота прямоугольника стремится к нулю, что гарантирует конечность площади.
Пример применения признака Дирихле
Рассмотрим ряд ∑n=1∞ \frac{1}{n^2+n}. Здесь знаменатель стремится к бесконечности при n→∞. А частичные суммы ряда можно оценить:
- Для любого
nвыполняетсяn^2 + n ≥ n - Тогда
∑k=1n \frac{1}{k} ≥ ∑k=1n \frac{1}{k^2+k} - Но ряд
∑k=1∞ \frac{1}{k}сходится - Значит, частичные суммы исходного ряда тоже ограничены
Применив признак Дирихле , мы вывели сходимость данного ряда.
Связь с признаком Лейбница
Существует частный случай признака Дирихле для знакочередующихся рядов. Он известен как признак Лейбница. Его условия:
- Знаменатель ряда стремится к нулю
- Частичные суммы ряда ограничены
То есть здесь даже не требуется монотонность знаменателя, а ряд может менять знаки. Этот частный случай часто используется для исследования знакопеременных рядов.
Неравенство Абеля и признак Абеля
Выдающийся норвежский математик Нильс Абель также внес вклад в теорию рядов в начале 19 века. Он доказал преобразование частичных сумм ряда, названное его именем. С его помощью выводится неравенство Абеля :
|∑k=mn akbk| ≤ |am||bn| 
Это неравенство позволяет оценить частичные суммы произвольного ряда и сформулировать признак Абеля : если ряд ∑ an сходится, а последовательность {bn} монотонна и ограничена, то ряд ∑ anbn тоже сходится.
| Условие признака Дирихле | Частичные суммы ограничены |
| Условие признака Абеля | Ряд сходится + {bn} ограничена |
Как видно из таблицы, признак Абеля имеет более жесткое условие на ряд ∑ an, зато требование к {bn} слабее, чем в признаке Дирихле .
Применение преобразования Абеля
Помимо неравенства и признака, Абель ввел удобное преобразование рядов, позволяющее перегруппировывать слагаемые. Оно часто используется в доказательствах сходимости:
Здесь суммы берутся от любого члена с номером m до члена с номером n. Преобразование Абеля удобно применять к двойным рядам. Например, так можно получить формулу для ряда косинусов:
cos(x) = ∑k=0∞ \frac{(-1)k x2k}{(2k)!}- Преобразуем ряд:
∑k=0∞ \frac{(-1)k x2k}{(2k)!} = 1 + x2∑k=1∞ \frac{(-1)k x2(k-1)}{(2k)!} - Заменяем
kнаk+1во втором ряде:= 1 - x2∑k=0∞ \frac{(-1)k x2k}{(2k+2)!}
Группируя ряды, приходим к формуле для cos(x). Аналогично можно получить выражение и для sin(x).
Интеграл Абеля
Существует интересная связь между преобразованием Абеля и определенным интегралом. Это соотношение иногда называют интегралом Абеля . Оно позволяет выразить конечную сумму через интеграл и наоборот. Геометрически интеграл Абеля представляет площадь под ступенчатой кривой.
Критерий Абеля-Дирихле
Признаки Абеля и Дирихле можно объединить в один обобщенный критерий Абеля-Дирихле:
- Ряд ∑an сходится
- {bn} монотонна и ограничена
- ∑anbn сходится
Этот критерий применим к более широкому классу рядов, чем каждый признак по отдельности. Рассмотрим пример:
Пример применения критерия
Дан ряд ∑n=1∞ \frac{(-1)nlog n}{n1.5}. Здесь знаменатель степенной, поэтому ряд ∑\frac{1}{n1.5} сходится. Логарифмический множитель ограничен, так как 0 < log n < n. По критерию Абеля-Дирихле исходный ряд тоже сходится.
Оценка остатка по критерию
Из условий критерия Абеля-Дирихле можно получить оценку остатка ряда. M - число, ограничивающее последовательность {bn}. Эта оценка позволяет приближать сумму ряда с нужной точностью за счет увеличения числа слагаемых.
