При взаимодействии тел в замкнутой системе происходит обмен импульсами между ними. Это объясняется законом сохранения импульса, согласно которому суммарный импульс системы не меняется. Рассмотрим подробнее, что такое импульс тела, как он меняется и вычисляется.
Импульс - это векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость. Изменение импульса численно равно импульсу силы, действующей на тело. Поэтому при столкновениях тел или их взаимодействии импульсы меняются в соответствии с действующими силами.
Определение импульса тела
Импульс - одна из важнейших векторных характеристик механического движения. Импульс тела p численно равен произведению массы тела m на скорость его движения v:
p = mv
Единица импульса в СИ - кг·м/с. Импульс характеризует количество движения, которым обладает тело. Чем больше импульс, тем больше запас кинетической энергии у тела.
Импульс является векторной величиной, направленной по касательной к траектории в сторону движения тела. Векторы скорости v и импульса р всегда сонаправлены.
Изменение импульса тела Δp равно импульсу действующей на тело силы F:
Δp = F·Δt
где Δt - промежуток времени, в течение которого действует сила. Это выражение называется основным законом динамики, или вторым законом Ньютона.
Таким образом, изменение импульса тела происходит только под действием внешней силы. Если на тело не действуют внешние силы, то его импульс сохраняется.
Закон сохранения импульса является одним из важнейших законов природы. Он справедлив для любой замкнутой системы тел, взаимодействующих друг с другом.
Знание импульса позволяет решать многие задачи механики. Например, по известному импульсу можно найти скорость тела:
v = p/m
А по известной силе и времени ее действия можно определить приобретенный телом импульс:
p = F·Δt
Также зная начальный и конечный импульсы тела, можно найти импульс силы, действовавшей на него:
F·Δt = p_кон - p_нач
где p_кон - конечный импульс, p_нач - начальный импульс.
При столкновении тел импульсы до и после удара связаны законом сохранения импульса. Изучение подобных процессов позволяет получить много полезной информации об исследуемой системе.
Формулы для нахождения импульса
Для нахождения импульса тела используются следующие основные формулы.
Импульс материальной точки:
p = mv,
где m - масса точки, кг;
v - скорость точки, м/с.
Импульс материальной точки является векторной величиной, направленной по вектору скорости точки.
Изменение импульса материальной точки:
Δp = F·Δt,
где F - равнодействующая всех сил, действующих на точку, H;
Δt - промежуток времени, с.
Эта формула выражает второй закон Ньютона.
Импульс системы материальных точек равен векторной сумме импульсов отдельных точек:
p = Σpi,
где pi - импульс i-й точки.
При столкновении тел выполняется закон сохранения импульса:
Σpî до столкновения = Σpê после столкновения
где Σpî и Σpê - суммы импульсов тел до и после столкновения.
Примеры решения задач на импульс
Рассмотрим несколько примеров, демонстрирующих применение формул для нахождения импульса при решении задач.
Пример 1. Определить импульс тела массой 2 кг, движущегося со скоростью 3 м/с.
Решение. Дано:
- m = 2 кг - масса тела
- v = 3 м/с - скорость тела
По формуле импульса тела:
p = mv
подставляя числовые значения, получаем:
p = 2 кг * 3 м/с = 6 кг*м/с
Ответ: импульс тела равен 6 кг*м/с.
Пример 2. Камень брошен вертикально вверх со скоростью 15 м/с. Определить изменение импульса камня за время подъема, если его масса 0,5 кг.
Решение. При подъеме на камень действует сила тяжести F = mg = 0,5 кг * 10 м/с2 = 5 Н. Время подъема вычисляется по формуле:
t = 2v/g = 2*15 м/с / 10 м/с2 = 3 c
Изменение импульса:
Δp = F·Δt = 5 H * 3 c = 15 кг·м/с
Ответ: изменение импульса камня равно 15 кг·м/с.
Пример 3. Два шарика сталкиваются на гладкой горизонтальной поверхности. Масса первого шарика 0,2 кг, второго - 0,3 кг. Скорость первого шарика до удара 3 м/с, второго - 2 м/с. Найти скорости шариков после центрального удара.
Решение. Воспользуемся законом сохранения импульса:
m1*v1î + m2*v2î = m1*v1ê + m2*v2ê
где:
- m1 = 0,2 кг - масса 1-го шарика
- v1î = 3 м/с - начальная скорость 1-го шарика
- m2 = 0,3 кг - масса 2-го шарика
- v2î = 2 м/с - начальная скорость 2-го шарика
- v1ê - конечная скорость 1-го шарика
- v2ê - конечная скорость 2-го шарика
Подставляя числовые значения, получаем:
0,2 кг * 3 м/с + 0,3 кг * 2 м/с = 0,2 кг * v1ê + 0,3 кг * v2ê
0,6 кг*м/с + 0,6 кг*м/с = 1,2 кг*м/с
Решая систему уравнений, находим:
v1ê = -1 м/с
v2ê = 3 м/с
Ответ: скорость первого шарика после удара -1 м/с, второго шарика - 3 м/с.
Закон сохранения импульса
Одним из важнейших следствий закона о равенстве изменения импульса тела импульсу действующей на него силы является закон сохранения импульса.
При взаимодействии тел, составляющих замкнутую систему, импульс системы остается неизменным.
Это означает, что алгебраическая сумма векторов импульсов тел до взаимодействия равна такой же сумме импульсов этих тел после взаимодействия:
Σpî = Σpê,
где Σpî - сумма импульсов тел до взаимодействия, Σpê - после.
Закон справедлив только для замкнутых систем, в которых тела взаимодействуют только между собой. При наличии внешних сил, действующих на систему, закон не выполняется.
Рассмотрим применение закона сохранения импульса в различных ситуациях.
Абсолютно упругий центральный удар двух тел
В этом случае тела мгновенно соприкасаются, деформации не происходит, и тела разлетаются в противоположных направлениях с теми же по модулю скоростями v1 и v2, что и до удара:
m1*v1î + m2*v2î = m1*v1ê + m2*v2ê
Отсюда получаем закон сохранения кинетической энергии при абсолютно упругом ударе.
Абсолютно неупругий удар, при котором тела движутся как одно целое
В этом случае выполняется сохранение импульса:
m1*v1î + m2*v2î = (m1 + m2)*vê
где vê - скорость тел после слипания.
Это уравнение позволяет найти скорость слипшихся тел.
Взрыв тела на несколько осколков
Сумма импульсов осколков равна импульсу тела до взрыва:
Σmi*vi = m*v
где m, v - масса и скорость тела до взрыва.
Отдача при выстреле
Импульс пули равен импульсу отдачи орудия в противоположную сторону:
mp*vp = -Mo*vo
Это позволяет рассчитать скорость отдачи орудия.
Таким образом, закон сохранения импульса широко применим в механике при рассмотрении различных видов соударений и взаимодействий.
Изменение импульса при столкновениях
Рассмотрим, как происходит изменение импульса тел при их столкновении. Столкновения могут быть абсолютно упругими, абсолютно неупругими и частично упругими.
1. Абсолютно упругое столкновение.
При таком столкновении тела мгновенно соприкасаются и мгновенно разлетаются, не теряя кинетической энергии. Изменение импульса каждого тела происходит за счет импульса упругой силы, действующей во время кратковременного контакта.
Импульсы тел до и после удара связаны соотношением:
m1*v1î + m2*v2î = m1*v1ê + m2*v2ê
Изменение импульса каждого тела:
Δp1 = m1*(v1ê - v1î)
Δp2 = m2*(v2ê - v2î)
2. Абсолютно неупругое столкновение.
В этом случае тела слипаются и дальше движутся как одно целое. Изменение импульсов происходит за счет импульса сил внутреннего трения, возникающих при слипании:
m1*v1î + m2*v2î = (m1 + m2)*vê
где vê - скорость слипшихся тел.
Изменение импульса системы тел:
Δp = (m1 + m2)*vê - (m1*v1î + m2*v2î)
3. Частично упругое столкновение.
Этот случай наиболее распространен в реальных процессах. При таком ударе часть кинетической энергии тел теряется, превращаясь во внутреннюю энергию.
Суммарный импульс тел до и после удара одинаков:
m1*v1î + m2*v2î = m1*v1ê + m2*v2ê
Однако скорости тел после удара меньше начальных скоростей, так как происходит потеря энергии.
Изменение импульсов тел:
Δp1 = m1*(v1ê - v1î) < 0
Δp2 = m2*(v2ê - v2î) < 0
Из анализа изменения импульсов при разных видах столкновений видно, что закон сохранения импульса выполняется всегда. Однако характер изменения импульсов зависит от физической природы взаимодействия тел.
Вместо заключения
Импульс является важной характеристикой механического движения наряду со скоростью. Импульс численно равен произведению массы тела на его скорость и направлен по вектору скорости.
Изменение импульса тела происходит только под действием внешней силы. Изменение импульса тела равно импульсу этой силы, что является математическим выражением второго закона Ньютона.
Для нахождения импульса используются формулы:
- Импульс тела: p = mv
- Изменение импульса: Δp = FΔt
- Импульс системы тел: p = Σpi
- При столкновении: Σpi до = Σpi после
Применение этих формул демонстрируется в примерах решения типовых задач на вычисление импульса тела, изменения импульса под действием силы, определения скоростей тел после удара.
Важным следствием из основного закона динамики является закон сохранения импульса. Он справедлив для любой замкнутой системы тел и гласит, что полный импульс такой системы не изменяется при взаимодействии тел.
Закон сохранения импульса широко используется в механике при анализе упругих и неупругих соударений, движения систем связанных тел, явления отдачи и др.
Характер изменения импульсов при столкновении тел зависит от их физических свойств. Но в любом случае выполняется закон сохранения полного импульса системы.
Таким образом, понятие импульса и закон его изменения являются фундаментальными принципами классической механики. Правильное использование этих принципов позволяет решать широкий круг задач динамики.
В заключение еще раз отметим основные моменты:
- Импульс численно равен произведению mv и направлен по скорости тела
- Изменение импульса равно импульсу действующей силы (второй закон Ньютона)
- Для замкнутой системы тел выполняется закон сохранения импульса
- Знание импульсов позволяет анализировать взаимодействия и движение тел
Данные фундаментальные принципы лежат в основе всей классической механики.
