Движение под углом к горизонту. Когда тело бросают под углом к горизонту, его движение становится достаточно сложным для анализа. В отличие от вертикального броска, траектория полета не является прямой линией. При горизонтальном броске тело движется равномерно и прямолинейно. Но как только появляется угол между направлением броска и горизонтом, все усложняется.
Чтобы разобраться в особенностях такого движения, нужно проанализировать его составляющие. Разложим вектор скорости на горизонтальную и вертикальную проекции. Тогда станет понятно, как каждая из них влияет на траекторию.
В этой статье мы подробно рассмотрим физику полета тела, брошенного под углом к горизонту. Выведем основные формулы для расчета характеристик движения. И разберем несколько примеров с пошаговым решением типовых задач.
Уравнение траектории
Когда тело бросают под углом к горизонту, его движение можно разложить на две составляющие - по горизонтали и по вертикали. По горизонтали тело движется равномерно и прямолинейно, а по вертикали - равноускоренно. Исходя из этого, можно записать уравнения движения:
- Движение по горизонтали: движение под углом к горизонту = v0*cosα*t
- Движение по вертикали: y = v0*sinα*t - g*t2/2
Подставив выражение для времени из уравнения движения по горизонтали в уравнение движения по вертикали, получим уравнение траектории:
y = (v02*sin2α)/(2g*x) - x*g/(2*v0*2cos2α)
Время и высота подъема
При движении тела, брошенного под углом к горизонту, можно выделить два этапа: подъем и падение. На этапе подъема вертикальная составляющая скорости тела «v0»sinα постепенно уменьшается из-за действия силы тяжести. В наивысшей точке траектории она обращается в ноль.
Время, за которое тело поднимается от точки броска до наивысшей точки, называется временем подъема t(под). Оно может быть найдено из уравнения движения по вертикали, приравняв выражение для вертикальной скорости к нулю:
t(под) = (v0*sinα)/g
Зная время подъема, можно определить максимальную высоту h(макс), на которую поднимется тело. Для этого подставляем найденное выражение для t(под) в формулу высоты подъема:
h(макс) = (v02*sin2α)/(2g)
Таким образом, максимальная высота подъема зависит от начальной скорости v0 и угла броска α. Чем больше эти величины, тем выше поднимется тело. Ускорение свободного падения «g» при этом играет сдерживающую роль - чем оно больше, тем ниже будет максимальная высота.
На этапе падения тело движется ускоренно вниз под действием силы тяжести. Время падения всегда равно времени подъема, поскольку высота подъема и падения одинаковы, а ускорение свободного падения постоянно и направлено вертикально вниз. Поэтому общее время полета t(пол) вычисляется удвоением времени подъема:
t(пол) = 2*t(под)
Зная время и высоту подъема, можно полностью описать траекторию тела, брошенного под углом к горизонту «движение под углом к горизонту». Эти параметры позволяют рассчитать положение тела в любой момент времени.
Дальность полета
Дальность полета - это расстояние по горизонтали от точки броска до точки приземления тела, брошенного под углом к горизонту «движение под углом к горизонту». Обозначим дальность полета буквой L.
Для нахождения дальности полета воспользуемся тем, что движение тела по горизонтали равномерное. Следовательно, за время полета t(пол) тело проходит по горизонтали путь:
L = v0x * t(пол)
где v0x - горизонтальная составляющая начальной скорости, равная:
v0x = v0 * cosα
А время полета t(пол), как мы вывели ранее:
t(пол) = 2 * t(под) = 2 * (v0sinα)/g
Подставляя эти выражения в формулу для дальности полета, получаем:
L = v0cosα * 2 * (v0sinα)/g = (v02sin2α)/g
Из этой формулы видно, что наибольшая дальность полета достигается при угле броска α = 45°, когда sin2α = 1. Это объясняется тем, что при меньших углах горизонтальная составляющая скорости больше, но меньше время полета, а при больших углах, наоборот, больше время, но меньше горизонтальная скорость. При угле 45° достигается оптимальное соотношение этих величин.
Зная начальную скорость, угол броска и ускорение свободного падения, можно рассчитать дальность полета тела, брошенного под произвольным углом к горизонту.
Модуль ускорения и скорости
При движении тела, брошенного под углом к горизонту «движение под углом к горизонту», на него действует только одна сила - сила тяжести. Она направлена вертикально вниз и ее величина (ускорение свободного падения g) не меняется.
Следовательно, модуль ускорения тела при движении под углом к горизонту также не меняется и равен ускорению свободного падения:
|a| = g = const
Что касается скорости, то ее модуль изменяется по мере движения тела. Мгновенное значение скорости можно найти из теоремы Пифагора, разложив вектор скорости на горизонтальную и вертикальную составляющие:
v = √(vx2 + vy2)
где vx - горизонтальная составляющая скорости, а vy - вертикальная. Горизонтальная составляющая постоянна:
vx = v0x = v0cosα
А вертикальная составляющая меняется согласно уравнению движения тела по вертикали:
vy = v0sinα - gt
Подставляя эти выражения в формулу для модуля скорости, получаем:
v = √(v02cos2α + (v0sinα - gt)2)
Из этой формулы видно, что скорость тела уменьшается с высотой, достигая минимума в наивысшей точке траектории. Затем скорость начинает расти по мере приближения тела к Земле. Максимальная скорость достигается в начальный момент броска и в конечный момент приземления.
Примеры решения задач
Рассмотрим несколько примеров, демонстрирующих применение рассмотренных формул для решения задач о движении тела, брошенного под углом к горизонту.
Задача 1. Тело брошено под углом 60° к горизонту с начальной скоростью 20 м/с. Найти время полета тела и его дальность полета, если ускорение свободного падения равно 10 м/с2.
Решение:
- Дано: α = 60°, v0 = 20 м/с, g = 10 м/с2
- Найти: t(пол), L
- По формуле времени полета:
- t(пол) = 2*(v0*sinα)/g = 2*(20*sin60°)/10 = 4 c
- По формуле дальности полета:
- L = (v02*sin2α)/g = (202*sin260°)/10 = 200 м
Ответ: t(пол) = 4 c, L = 200 м.
Задача 2. Тело брошено под углом α = 30° к горизонту. Определить скорость тела через 2 с после броска, если начальная скорость равна 15 м/с, а ускорение свободного падения составляет 10 м/с2.
Решение:
- Дано: α = 30°, v0 = 15 м/с, g = 10 м/с2, t = 2 c
- Найти: v
- По формуле модуля скорости:
- v = √(v02*cos2α + (v0*sinα - g*t)2) =
- = √(152*cos230° + (15*sin30° - 10*2)2) = 13 м/с
Ответ: v = 13 м/с.
Задача 3. С крыши высотой 20 м бросили тело под углом к горизонту. Тело упало на землю в 32 м от подножия здания. Под каким углом было брошено тело, если его начальная скорость равна 15 м/с?
Решение:
- Дано: h = 20 м, L = 32 м, v0 = 15 м/с
- Найти: α
- Из формулы дальности полета:
- L = (v02*sin2α)/g, отсюда:
- sinα = √(L*g)/(v02) = √(32*10)/(152) = 0.8
- α = arcsin(0.8) = 53°
Ответ: α = 53°.
