Регрессионный анализ — это статистический метод исследования, позволяющий показать зависимость того или иного параметра от одной либо нескольких независимых переменных. В докомпьютерную эру его применение было достаточно затруднительно, особенно если речь шла о больших объемах данных. Сегодня, узнав как построить регрессию в Excel, можно решать сложные статистические задачи буквально за пару минут. Ниже представлены конкретные примеры из области экономики.
Виды регрессии
Само это понятие было введено в математику Фрэнсисом Гальтоном в 1886 году. Регрессия бывает:
- линейной;
- параболической;
- степенной;
- экспоненциальной;
- гиперболической;
- показательной;
- логарифмической.
Пример 1
Рассмотрим задачу определения зависимости количества уволившихся членов коллектива от средней зарплаты на 6 промышленных предприятиях.
Задача. На шести предприятиях проанализировали среднемесячную заработную плату и количество сотрудников, которые уволились по собственному желанию. В табличной форме имеем:
A | B | C | |
1 | Х | Количество уволившихся | Зарплата |
2 | y | 30000 рублей | |
3 | 1 | 60 | 35000 рублей |
4 | 2 | 35 | 40000 рублей |
5 | 3 | 20 | 45000 рублей |
6 | 4 | 20 | 50000 рублей |
7 | 5 | 15 | 55000 рублей |
8 | 6 | 15 | 60000 рублей |
Для задачи определения зависимости количества уволившихся работников от средней зарплаты на 6 предприятиях модель регрессии имеет вид уравнения Y = а0 + а1x1 +…+аkxk, где хi — влияющие переменные, ai — коэффициенты регрессии, a k — число факторов.
Для данной задачи Y — это показатель уволившихся сотрудников, а влияющий фактор — зарплата, которую обозначаем X.
Использование возможностей табличного процессора «Эксель»
Анализу регрессии в Excel должно предшествовать применение к имеющимся табличным данным встроенных функций. Однако для этих целей лучше воспользоваться очень полезной надстройкой «Пакет анализа». Для его активации нужно:
- с вкладки «Файл» перейти в раздел «Параметры»;
- в открывшемся окне выбрать строку «Надстройки»;
- щелкнуть по кнопке «Перейти», расположенной внизу, справа от строки «Управление»;
- поставить галочку рядом с названием «Пакет анализа» и подтвердить свои действия, нажав «Ок».
Если все сделано правильно, в правой части вкладки «Данные», расположенном над рабочим листом «Эксель», появится нужная кнопка.
Линейная регрессия в Excel
Теперь, когда под рукой есть все необходимые виртуальные инструменты для осуществления эконометрических расчетов, можем приступить к решению нашей задачи. Для этого:
- щелкаем по кнопке «Анализ данных»;
- в открывшемся окне нажимаем на кнопку «Регрессия»;
- в появившуюся вкладку вводим диапазон значений для Y (количество уволившихся работников) и для X (их зарплаты);
- подтверждаем свои действия нажатием кнопки «Ok».
В результате программа автоматически заполнит новый лист табличного процессора данными анализа регрессии. Обратите внимание! В Excel есть возможность самостоятельно задать место, которое вы предпочитаете для этой цели. Например, это может быть тот же лист, где находятся значения Y и X, или даже новая книга, специально предназначенная для хранения подобных данных.
Анализ результатов регрессии для R-квадрата
В Excel данные полученные в ходе обработки данных рассматриваемого примера имеют вид:
Прежде всего, следует обратить внимание на значение R-квадрата. Он представляет собой коэффициент детерминации. В данном примере R-квадрат = 0,755 (75,5%), т. е. расчетные параметры модели объясняют зависимость между рассматриваемыми параметрами на 75,5 %. Чем выше значение коэффициента детерминации, тем выбранная модель считается более применимой для конкретной задачи. Считается, что она корректно описывает реальную ситуацию при значении R-квадрата выше 0,8. Если R-квадрата<0,5, то такой анализа регрессии в Excel нельзя считать резонным.
Анализ коэффициентов
Число 64,1428 показывает, каким будет значение Y, если все переменные xi в рассматриваемой нами модели обнулятся. Иными словами можно утверждать, что на значение анализируемого параметра оказывают влияние и другие факторы, не описанные в конкретной модели.
Следующий коэффициент -0,16285, расположенный в ячейке B18, показывает весомость влияния переменной Х на Y. Это значит, что среднемесячная зарплата сотрудников в пределах рассматриваемой модели влияет на число уволившихся с весом -0,16285, т. е. степень ее влияния совсем небольшая. Знак «-» указывает на то, что коэффициент имеет отрицательное значение. Это очевидно, так как всем известно, что чем больше зарплата на предприятии, тем меньше людей выражают желание расторгнуть трудовой договор или увольняется.
Множественная регрессия
Под таким термином понимается уравнение связи с несколькими независимыми переменными вида:
y=f(x1+x2+…xm) + ε, где y — это результативный признак (зависимая переменная), а x1, x2, …xm — это признаки-факторы (независимые переменные).
Оценка параметров
Для множественной регрессии (МР) ее осуществляют, используя метод наименьших квадратов (МНК). Для линейных уравнений вида Y = a + b1x1 +…+bmxm+ ε строим систему нормальных уравнений (см. ниже)
Чтобы понять принцип метода, рассмотрим двухфакторный случай. Тогда имеем ситуацию, описываемую формулой
Отсюда получаем:
где σ — это дисперсия соответствующего признака, отраженного в индексе.
МНК применим к уравнению МР в стандартизируемом масштабе. В таком случае получаем уравнение:
в котором ty, tx1, …txm — стандартизируемые переменные, для которых средние значения равны 0; βi — стандартизированные коэффициенты регрессии, а среднеквадратическое отклонение — 1.
Обратите внимание, что все βi в данном случае заданы, как нормируемые и централизируемые, поэтому их сравнение между собой считается корректным и допустимым. Кроме того, принято осуществлять отсев факторов, отбрасывая те из них, у которых наименьшие значения βi.
Задача с использованием уравнения линейной регрессии
Предположим, имеется таблица динамики цены конкретного товара N в течение последних 8 месяцев. Необходимо принять решение о целесообразности приобретения его партии по цене 1850 руб./т.
A | B | C | |
1 | номер месяца | название месяца | цена товара N |
2 | 1 | январь | 1750 рублей за тонну |
3 | 2 | февраль | 1755 рублей за тонну |
4 | 3 | март | 1767 рублей за тонну |
5 | 4 | апрель | 1760 рублей за тонну |
6 | 5 | май | 1770 рублей за тонну |
7 | 6 | июнь | 1790 рублей за тонну |
8 | 7 | июль | 1810 рублей за тонну |
9 | 8 | август | 1840 рублей за тонну |
Для решения этой задачи в табличном процессоре «Эксель» требуется задействовать уже известный по представленному выше примеру инструмент «Анализ данных». Далее выбирают раздел «Регрессия» и задают параметры. Нужно помнить, что в поле «Входной интервал Y» должен вводиться диапазон значений для зависимой переменной (в данном случае цены на товар в конкретные месяцы года), а в «Входной интервал X» — для независимой (номер месяца). Подтверждаем действия нажатием «Ok». На новом листе (если так было указано) получаем данные для регрессии.
Строим по ним линейное уравнение вида y=ax+b, где в качестве параметров a и b выступают коэффициенты строки с наименованием номера месяца и коэффициенты и строки «Y-пересечение» из листа с результатами регрессионного анализа. Таким образом, линейное уравнение регрессии (УР) для задачи 3 записывается в виде:
Цена на товар N = 11,714* номер месяца + 1727,54.
или в алгебраических обозначениях
y = 11,714 x + 1727,54
Анализ результатов
Чтобы решить, адекватно ли полученное уравнения линейной регрессии, используются коэффициенты множественной корреляции (КМК) и детерминации, а также критерий Фишера и критерий Стьюдента. В таблице «Эксель» с результатами регрессии они выступают под названиями множественный R, R-квадрат, F-статистика и t-статистика соответственно.
КМК R дает возможность оценить тесноту вероятностной связи между независимой и зависимой переменными. Ее высокое значение свидетельствует о достаточно сильной связи между переменными «Номер месяца» и «Цена товара N в рублях за 1 тонну». Однако, характер этой связи остается неизвестным.
Квадрат коэффициента детерминации R2(RI) представляет собой числовую характеристику доли общего разброса и показывает, разброс какой части экспериментальных данных, т.е. значений зависимой переменной соответствует уравнению линейной регрессии. В рассматриваемой задаче эта величина равна 84,8%, т. е. статистические данные с высокой степенью точности описываются полученным УР.
F-статистика, называемая также критерием Фишера, используется для оценки значимости линейной зависимости, опровергая или подтверждая гипотезу о ее существовании.
Значение t-статистики (критерий Стьюдента) помогает оценивать значимость коэффициента при неизвестной либо свободного члена линейной зависимости. Если значение t-критерия > tкр, то гипотеза о незначимости свободного члена линейного уравнения отвергается.
В рассматриваемой задаче для свободного члена посредством инструментов «Эксель» было получено, что t=169,20903, а p=2,89Е-12, т. е. имеем нулевую вероятность того, что будет отвергнута верная гипотеза о незначимости свободного члена. Для коэффициента при неизвестной t=5,79405, а p=0,001158. Иными словами вероятность того, что будет отвергнута верная гипотеза о незначимости коэффициента при неизвестной, равна 0,12%.
Таким образом, можно утверждать, что полученное уравнение линейной регрессии адекватно.
Задача о целесообразности покупки пакета акций
Множественная регрессия в Excel выполняется с использованием все того же инструмента «Анализ данных». Рассмотрим конкретную прикладную задачу.
Руководство компания «NNN» должно принять решение о целесообразности покупки 20 % пакета акций АО «MMM». Стоимость пакета (СП) составляет 70 млн американских долларов. Специалистами «NNN» собраны данные об аналогичных сделках. Было принято решение оценивать стоимость пакета акций по таким параметрам, выраженным в миллионах американских долларов, как:
- кредиторская задолженность (VK);
- объем годового оборота (VO);
- дебиторская задолженность (VD);
- стоимость основных фондов (СОФ).
Кроме того, используется параметр задолженность предприятия по зарплате (V3 П) в тысячах американских долларов.
Решение средствами табличного процессора Excel
Прежде всего, необходимо составить таблицу исходных данных. Она имеет следующий вид:
Далее:
- вызывают окно «Анализ данных»;
- выбирают раздел «Регрессия»;
- в окошко «Входной интервал Y» вводят диапазон значений зависимых переменных из столбца G;
- щелкают по иконке с красной стрелкой справа от окна «Входной интервал X» и выделяют на листе диапазон всех значений из столбцов B,C, D, F.
Отмечают пункт «Новый рабочий лист» и нажимают «Ok».
Получают анализ регрессии для данной задачи.
Изучение результатов и выводы
«Собираем» из округленных данных, представленных выше на листе табличного процессора Excel, уравнение регрессии:
СП = 0,103*СОФ + 0,541*VO – 0,031*VK +0,405*VD +0,691*VZP – 265,844.
В более привычном математическом виде его можно записать, как:
y = 0,103*x1 + 0,541*x2 – 0,031*x3 +0,405*x4 +0,691*x5 – 265,844
Данные для АО «MMM» представлены в таблице:
СОФ, USD | VO, USD | VK, USD | VD, USD | VZP, USD | СП, USD |
102,5 | 535,5 | 45,2 | 41,5 | 21,55 | 64,72 |
Подставив их в уравнение регрессии, получают цифру в 64,72 млн американских долларов. Это значит, что акции АО «MMM» не стоит приобретать, так как их стоимость в 70 млн американских долларов достаточно завышена.
Как видим, использование табличного процессора «Эксель» и уравнения регрессии позволило принять обоснованное решение относительно целесообразности вполне конкретной сделки.
Теперь вы знаете, что такое регрессия. Примеры в Excel, рассмотренные выше, помогут вам в решение практических задач из области эконометрики.
