При изучении абсолютно любой пространственной фигуры важно знать, как рассчитывать ее объем. В данной статье приводится формула объема правильной четырехугольной пирамиды, а также на примере решения задач показано как этой формулой следует пользоваться.
О какой пирамиде пойдет речь?
Каждому школьнику старших классов известно, что пирамида представляет собой многогранник, состоящий из треугольников и многоугольника. Последний является основанием фигуры. Треугольники имеют одну общую сторону с основанием и пересекаются в единственной точке, являющейся вершиной пирамиды.
Каждая пирамида характеризуется длиной сторон основания, длиной боковых ребер и высотой. Последняя представляет собой перпендикулярный отрезок, опущенный к основанию из вершины фигуры.
Правильная четырехугольная пирамида представляет собой фигуру с квадратным основанием, высота которой пересекает этот квадрат в его центре. Пожалуй, самым известным примером пирамид этого типа являются древние египетские каменные строения. Ниже приведена фотография пирамиды Хеопса.
![Пирамида Хеопса](/misc/i/gallery/91036/3088868.jpg)
Изучаемая фигура имеет пять граней, четыре из которых - это одинаковые равнобедренные треугольники. Также она характеризуется пятью вершинами, четыре из которых принадлежат основанию, и восемью ребрами (4 ребра основания и 4 ребра боковых граней).
Формула объема четырехугольной пирамиды правильной
![Объем правильной четырехугольной пирамиды](/misc/i/gallery/91036/3088937.jpg)
Объем рассматриваемой фигуры представляет собой часть пространства, которое ограничивают пять сторон. Чтобы вычислить этот объем воспользуемся следующей зависимостью площади параллельного основанию пирамиды среза Sz от вертикальной координаты z:
Sz = So * (h - z/h)2
Здесь So - площадь квадратного основания. Если в записанное выражение подставить z = h, то мы получим нулевое значение для Sz. Этой величине z соответствует срез, который будет содержать только вершину пирамиды. Если же z = 0, то мы получаем значение площади основания So.
![Развертка правильной пирамиды](/misc/i/gallery/91036/3088966.jpg)
Объем пирамиды найти несложно, зная функцию Sz(z), для этого достаточно разрезать фигуру на бесконечное число параллельных основанию слоев, а затем провести операцию интегрирования. Следую этой методике, получаем:
V = ∫0h(Sz)*dz = -S0*(h-z)3 / (3*h2)|0h = 1/3*S0*h.
Поскольку S0 - это площадь квадратного основания, то, обозначив сторону квадрата буквой a, получаем формулу объема правильной четырехугольной пирамиды:
V = 1/3*a2*h.
Теперь покажем на примерах решения задач, как следует применять это выражение.
Задача на определение объема пирамиды через ее апофему и боковое ребро
![Четырехугольная пирамида](/misc/i/gallery/91036/3088942.jpg)
Апофемой пирамиды называют высоту ее бокового треугольника, которая опущена на сторону основания. Поскольку все треугольники равны в правильной пирамиде, то их апофемы также будут одинаковыми. Обозначим ее длину символом hb. Боковое ребро обозначим как b.
Зная, что апофема пирамиды равна 12 см, а ее боковое ребро составляет 15 см, найдите объем правильной пирамиды четырехугольной.
Записанная в предыдущем пункте формула для объема фигуры содержит два параметра: длину стороны a и высоту h. На данный момент нам не известен ни один из них, поэтому займемся их вычислениями.
Длину стороны квадрата a несложно рассчитать, если воспользоваться теоремой Пифагора для треугольника прямоугольного, у которого гипотенузой является ребро b, а катетами будут апофема hb и половина стороны основания a/2. Получаем:
b2 = hb2 + a2/4 =>
a = 2*√(b2 - hb2).
Подставляя известные значения из условия, получим величину a = 18 см.
Чтобы вычислить высоту h пирамиды, можно поступить двумя способами: рассмотреть прямоугольный треугольник с гипотенузой-боковым ребром или с гипотенузой-апофемой. Оба способа равноправны и предполагают выполнение одного и того же количества математических операций. Остановимся на рассмотрении треугольника, где гипотенузой является апофема hb. Катетами в нем будут h и a/2. Тогда получаем:
h = √(hb2-a2/4) = √(122 - 182/4) = 7,937 см.
Теперь можно воспользоваться формулой для объема V:
V = 1/3*a2*h = 1/3*182*7,937 = 857,196 см3.
Таким образом, объем правильной четырехугольной пирамиды равен приблизительно 0,86 литра.
Объем пирамиды Хеопса
Теперь решим интересную и практически важную задачу: найдем, чему равен объем самой большой пирамиды в Гизе. Из литературных данных известно, что исходная высота строения была равна 146,5 метра, а длина его основания составляет 230,363 метра. Эти цифры позволяют применить формулу для вычисления V. Получаем:
V = 1/3*a2*h =1/3*230,3632*146,5 ≈ 2591444 м3.
Полученное значение составляет почти 2,6 млн. м3. Этот объем соответствует объему куба, сторона которого равна 137,4 метра.