Теоремы являются фундаментальными утверждениями в математике, на которых строится вся наука. Без доказательства теорем невозможно расширять математические знания и применять их для решения практических задач.
Определение теоремы
Теорема - это утверждение в математике, истинность которого доказывается на основе ранее принятых аксиом, определений и других теорем. Например, теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Это утверждение доказывается с использованием аксиом евклидовой геометрии и некоторых базовых теорем.
Отличие теоремы от аксиомы заключается в том, что аксиома принимается без доказательства, а теорема требует строгого логического вывода. Гипотеза в свою очередь является предположением, истинность которого пока не установлена.
Структура формулировки теоремы
Любая теорема содержит:
- Условие или гипотезу
- Утверждение, которое нужно доказать
- Логический вывод, подтверждающий утверждение при выполнении условия
Например, теорема может иметь следующую структуру:
Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Здесь:
- Условие: два угла одного треугольника равны двум углам другого
- Утверждение: такие треугольники подобны
- Вывод: утверждение следует из условия
По числу условий теоремы делятся на безусловные (утверждения справедливы всегда) и условные (справедливы при выполнении некоторых условий).
По форме теоремы бывают:
- Утвердительные
- Отрицательные
- Разделительные
По логике построения предложения различают теоремы:
- Категорические
- Условные
- Союзные
- Разделительно-категорические
- Разделительно-условные
Доказательство теорем
Доказательство теоремы представляет собой последовательность логических умозаключений, в результате которых на основе аксиом, ранее доказанных утверждений и определений делается вывод о справедливости данной теоремы.
Этапы доказательства теоремы
Процесс доказательства теоремы обычно включает следующие этапы:
- Формулировка теоремы
- Доказательство
- Вывод о справедливости утверждения теоремы
Рассмотрим их подробнее.
1) Формулировка теоремы. На этом этапе теорема записывается в виде математического утверждения со всеми необходимыми условиями. Например, «в прямоугольном треугольнике гипотенуза больше любого катета».
2) Доказательство. Здесь приводится последовательность логических рассуждений, опирающихся на базовые определения, аксиомы или уже доказанные теоремы, в результате которых получается истинность утверждения теоремы.
Доказательство может вестись различными методами: прямым, от противного, математической индукцией и др.
Например, теорему о неравенстве гипотенузы и катета можно доказать, воспользовавшись теоремой Пифагора и свойствами прямоугольных треугольников.
3) Вывод. Заключительным этапом доказательства теоремы является формулировка вывода, что на основании проведенных рассуждений данное утверждение справедливо. Вывод обычно обозначается символами: ■ или QED (quod erat demonstrandum).
Таким образом, правильное доказательство теоремы должно содержать четкую формулировку, строгие логические рассуждения и итоговый вывод о справедливости утверждения.
Пример доказательства
Рассмотрим пошаговое доказательство простейшей теоремы на примере:
Теорема. Сумма углов треугольника равна 180°.
- Формулировка теоремы указывает, что в любом треугольнике сумма его углов всегда будет равна 180°.
- Из аксиомы параллельных прямых следует, что сумма накрест лежащих, внутренних и внешних углов равна 180°. Рассмотрим произвольный треугольник ABC:
Copy codeCopy codeCopy code
A | /| | / α |
| /| | / β | /| |
B | C | / γ |
- Углы α, β, γ являются внутренними, а развернутый угол BĈA является внешним по отношению к треугольнику ABC. Согласно аксиоме, сумма этих углов равна 180°. То есть α + β + γ = 180°.
- Вывод. Таким образом, для любого треугольника справедливо, что сумма его углов равна 180°. ■
Это пример простейшего доказательства хорошо иллюстрирует основные этапы: формулировку, собственно доказательство с использованием аксиом и вывод. Более сложные теоремы могут иметь многостраничные доказательства.
Значение теорем в математике
Доказанные теоремы играют ключевую роль в математике, так как позволяют на основе нескольких исходных аксиом выводить все новые и новые знания, расширяя науку.
Без доказательства теорем невозможно было бы открывать математические закономерности, связи между объектами, решать сложные прикладные задачи.
Кроме того, теоремы часто обладают определенной красотой и «изяществом» доказательства, что придает математике эстетическую ценность.
По глубине теоремы классифицируются на:
- Тривиальные - очевидные, простые для доказательства
- Фундаментальные - имеют важнейшее значение в математике
- Глубокие - доказательство включает связи между различными разделами математики
Ярким примером глубокой теоремы является Великая теорема это Ферма, которая проста по формулировке, но ее доказательство потребовало использования огромного математического аппарата.
Также есть знаменитые, но очень сложные для понимания теоремы вроде решение теоремы о четырех красках, доказательство которой может занимать сотни страниц.
Таким образом, теоремы - это своего рода фундамент, на котором строится здание всей математической науки от элементарных разделов до высших ее достижений.
