Вектор - важнейшее понятие в физике, математике и других точных науках. Вектор характеризуется не только числовым значением, но и направлением. В этой статье мы разберем, что такое вектор, дадим определения основных связанных понятий и рассмотрим конкретный пример - вектор магнитной индукции.
Определение вектора в математике
В математике вектор определяется как направленный отрезок на плоскости или в пространстве. Геометрически вектор можно представить в виде стрелки с указанным началом и концом (рис. 1).
Рис. 1. Геометрическое изображение вектора.
Основные свойства вектора:
- Длина (модуль) вектора - это длина соответствующего направленного отрезка;
- Направление вектора задается стрелкой на изображении;
- Существует нулевой вектор, не имеющий ни длины, ни определенного направления.
Определение вектора тесно связано с такими понятиями как коллинеарность и компланарность:
- Коллинеарные векторы лежат на одной прямой или на параллельных прямых;
- Компланарные векторы лежат в одной плоскости или параллельных плоскостях.
Два вектора могут быть либо равными (одинакового направления и длины), либо противоположно направленными (антипараллельными).
Определение вектора в физике
В физике векторы широко используются для описания физических величин, которые зависят не только от числового значения, но и от направления.
К таким векторным величинам относятся:
- Скорость и ускорение;
- Сила и импульс;
- Магнитная индукция;
- Напряженность электрического и магнитного полей и др.
Например, для описания движения тела в механике используют векторы скорости и ускорения, которые не только имеют определенную величину (модуль), но и заданное направление в пространстве.
Важной особенностью использования векторов в физике является тесная связь с математическим анализом, в частности с понятиями градиента, ротора и дивергенции.
Кроме того, над векторами определены такие операции как скалярное и векторное произведения, широко используемые в физических расчетах.
Способы задания вектора
Существует несколько различных способов задания вектора:
- С помощью координат в выбранной системе координат;
- Геометрически, указывая начало и конец вектора;
- Через проекции вектора на оси координат;
- В виде линейной комбинации базисных векторов (ортов).
Например, в декартовой системе координат вектор магнитной индукции \mathbf{B} может быть задан координатами:
B = (Bx, By, Bz)
или через проекции на оси Ox, Oy, Oz:
\mathbf{B} = Bx\mathbf{i} + By\mathbf{j} + Bz\mathbf{k}
где \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k} - орты (базисные единичные векторы).
Определение вектора магнитной индукции
Вектор магнитной индукции \mathbf{B} характеризует магнитное поле в каждой точке пространства. Он задает как направление силовых линий магнитного поля, так и "плотность" силовых линий.
Величина (модуль) вектора \mathbf{B} показывает магнитную индукцию, а направление вектора - ориентацию магнитного поля.
В немагнитных средах вектор \mathbf{B} совпадает по направлению и модулю с вектором магнитной напряженности \mathbf{H}. В намагниченных ферромагнетиках эти векторы различаются и связаны соотношением:
\mathbf{B} = \mu\mathbf{H}
где \mu - магнитная проницаемость среды.
Основные операции над векторами
Над векторами в математике и физике определены различные операции, основными из которых являются:
- Сложение и вычитание векторов;
- Умножение вектора на число;
- Скалярное произведение векторов;
- Векторное произведение векторов;
- Разложение вектора по базисным векторам (ортам).
Например, для векторов магнитной индукции \mathbf{B}_1 и \mathbf{B}_2 их сумма определяется по правилу паралллелограмма:
\mathbf{B}_{сумма} = \mathbf{B}_1 + \mathbf{B}_2
А разность вычисляется аналогично:
\mathbf{B}_{разность} = \mathbf{B}_1 - \mathbf{B}_2
Проекция вектора на ось
Определение проекции вектора \mathbf{B} на ось Ox записывается следующим образом:
Bx = (B, i) = B cos α
где Bx - проекция вектора \mathbf{B} на ось Ox; α - угол между вектором \mathbf{B} и осью Ox; (B, i) - скалярное произведение векторов.
Направление вектора
Для определения направления вектора \mathbf{B} вводятся понятия направляющих косинусов - косинусов углов между вектором \mathbf{B} и координатными осями Ox, Oy, Oz.
Направляющие косинусы записываются как α, β, γ и однозначно определяют направление вектора \mathbf{B} в пространстве.
Применение вектора магнитной индукции
Вектор магнитной индукции \mathbf{B} широко используется в таких областях как:
- Электротехника и электроника;
- Радиотехника;
- Физика магнитных явлений;
- Геофизика и космофизика.
Например, вектор \mathbf{B} позволяет рассчитать силы и моменты, действующие на проводник с током в магнитном поле.
В радиотехнике вектор магнитной индукции \mathbf{B} используется при разработке и расчете различных устройств, включая антенны, волноводы, фильтры, циркуляторы и др.
Измерение вектора магнитной индукции
Для измерения модуля и направления вектора магнитной индукции \mathbf{B} применяются различные магнитометры и магнитные датчики, например:
- Феррозондовые датчики;
- Датчики Холла;
- Магниторезистивные датчики;
- Сквид-магнитометры и др.
Применение вектора магнитной индукции в электротехнике
Одной из важных областей использования вектора \mathbf{B} является электротехника, в частности расчеты электрических машин (генераторов и двигателей). Зная распределение магнитной индукции внутри электрической машины, можно определить:
- Силы, действующие на проводники с током;
- Возникающие механические моменты;
- Коэффициент полезного действия машины;
- Нагрев проводников и др. параметры.
Связь вектора \mathbf{B} с намагниченностью среды
В немагнитных средах (вакуум, воздух, медь, алюминий и др.) вектор \mathbf{B} совпадает по направлению и модулю с вектором напряженности магнитного поля \mathbf{H}.
Однако в ферромагнетиках (железо, кобальт, никель) собственная намагниченность \mathbf{M} вносит дополнительный вклад в магнитную индукцию:
\mathbf{B} = \mu_0(\mathbf{H} + \mathbf{M})
где \mu_0 - магнитная постоянная.
Расчет вектора магнитной индукции в CAD системах
Для расчета распределения вектора \mathbf{B} в сложных трехмерных объектах (электродвигатели, трансформаторы и др.) используются специальные CAD системы, реализующие численное моделирование методом конечных элементов.
Такие программы позволяют вычислить пространственное распределение магнитной индукции с учетом геометрии объекта, заданных материалов и источников магнитного поля.
Вектор \mathbf{B} в космофизике и геофизике
Помимо технических приложений, вектор \mathbf{B} играет важную роль в физике космоса и физике Земли.
В частности, магнитное поле Земли, описываемое вектором магнитной индукции \mathbf{B}, играет ключевую роль в таких явлениях как полярные сияния, магнитные бури, отклонение космических лучей и др.
Перспективы исследований магнитных полей и вектора \mathbf{B}
Несмотря на многолетнюю историю изучения, магнетизм до сих пор хранит много загадок. Остаются открытыми вопросы природы ферромагнетизма, сверхпроводимости, генерации космических магнитных полей.
Дальнейшие исследования магнитных явлений и точные измерения пространственно-временных распределений вектора \mathbf{B} помогут пролить свет на эти фундаментальные проблемы современной физики.
