Углы, образованные при пересечении параллельных прямых секущей, имеют удивительные и полезные свойства. Давайте познакомимся с ними поближе!
Основные понятия и определения
Что такое параллельные прямые? Это две прямые на плоскости, которые при любом своем продолжении никогда не пересекутся. Они как два параллельных рельса или берега реки.
Секущая - это прямая, которая пересекает две другие прямые. Представьте, что вы провели линию через железнодорожные пути - вот вам и секущая!
А какие бывают углы при пересечении параллельных прямых секущей? Целых 8 штук! Давайте разберемся с ними:
- Вертикальные углы
- Смежные углы
- Односторонние углы
- Соответственные углы
- Накрест лежащие углы
О каждом из них мы поговорим отдельно. Узнаем интересные факты и научимся использовать в решении задач!
Вертикальные углы
Вертикальные углы - это два угла с общей вершиной и общим лучом. Просто представьте букву X - углы при пересечении линий как раз вертикальные.
При пересечении параллельных прямых секущей тоже образуются вертикальные углы. И что интересно - они всегда равны ! Это можно доказать с помощью теоремы:
Теорема о вертикальных углах: Если две прямые пересечены секущей, то образовавшиеся вертикальные углы равны.
Зная это свойство, можно решать всякие хитрые задачи. Например, если известно, что один вертикальный угол равен 40°, то и другой тоже будет 40°. А если использовать это при построении параллограмма...
Смежные углы
А что такое смежные углы и какие у них секреты?
Смежными называются два угла с общей вершиной и общей стороной. Вспомните транспортир - если сложить его, то получите как раз смежные углы.
При пересечении двух прямых секущей тоже образуются смежные углы. И здесь есть интересный факт - их сумма всегда равна 180° ! Это можно строго доказать:
Теорема о смежных углах: сумма смежных углов, образованных при пересечении двух прямых секущей, равна 180°.
Односторонние углы
Еще один интересный вид углов, который образуется при пересечении параллельных прямых секущей - это односторонние углы. Что это такое?
Односторонними называют два угла, лежащие по одну сторону от секущей. Если посмотреть на чертеж, то сразу видно, что речь идет об углах 1 и 2 или 3 и 4.
У односторонних углов тоже есть удивительное свойство, которое выражается в теореме:
Теорема об односторонних углах: Сумма односторонних углов при пересечении параллельных прямых секущей равна 180°.
Соответственные углы
Еще один распространенный вид углов при пересечении параллельных прямых - соответственные углы. Это углы, которые не лежат на одной стороне от секущей.
Например, на рисунке углы 1 и 2 являются соответственными. И у них тоже есть интересное свойство:
Теорема о соответственных углах: соответственные углы при пересечении параллельных прямых секущей равны.
Накрест лежащие углы
Еще одни интересные углы - накрест лежащие. Это углы, вершины которых лежат по разные стороны от точки пересечения двух прямых.
При пересечении параллельных прямых секущей тоже образуются накрест лежащие углы. Например, на рисунке это углы 1 и 3 или 2 и 4.
У накрест лежащих углов выполняется теорема:
Теорема о накрест лежащих углах: накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых секущей равны.
Применение свойств углов на практике
Теперь, когда мы узнали свойства разных видов углов при параллельных прямых и секущей, давайте посмотрим, как это можно применить на практике.
Например, используя равенство вертикальных или накрест лежащих углов, можно узнать один угол, если известен другой. А свойства односторонних и соответственных углов помогут найти углы в конструкциях типа параллелограмма.
Давайте решим одну задачу, применив свойства углов...
Задача на применение свойств углов
Рассмотрим такую задачу: в трапеции ABCD с основаниями AD и BC известно, что угол A равен 100°. Требуется найти угол C.
Чтобы решить эту задачу, воспользуемся свойствами односторонних углов. Ведь углы A и C являются односторонними при параллельных прямых AD и BC.
По теореме, сумма односторонних углов равна 180°. Запишем это для нашей трапеции:
A + C = 180°
100° + C = 180°
C = 180° - 100° = 80°
Ответ: угол C равен 80 градусов.
Другие примеры использования свойств углов
Кроме того, свойства углов при параллельных прямых можно использовать при решении задач на:
- Построение параллелограмма, если заданы некоторые его углы
- Нахождение углов в ромбе
- Вычисление углов в треугольнике, если известно про параллельность каких-то его сторон
Во всех этих случаях мы можем воспользоваться свойствами вертикальных, соответственных или накрест лежащих углов, чтобы упростить решение.
Обратные теоремы
Еще один интересный момент - для теорем об углах при параллельных прямых существуют и обратные утверждения. Они позволяют доказать параллельность прямых, если известно выполнение какого-то свойства для углов.
Например, если накрест лежащие углы равны, то линии, на которых они лежат, параллельны. Или если сумма односторонних углов равна 180° - значит, прямые, на которых эти углы лежат, тоже параллельны.
Эти обратные теоремы тоже полезны на практике...
Применение обратных теорем
Рассмотрим пример использования обратной теоремы о накрест лежащих углах.
Допустим, есть четырехугольник ABCD. Известно, что углы A и C равны. Нужно доказать, что AB параллельно CD.
Поскольку углы A и C равны, а их вершины лежат по разные стороны от диагонали BD, эти углы являются накрест лежащими.
Согласно обратной теореме, если накрест лежащие углы равны, стороны, на которых они лежат, параллельны.
Значит, AB параллельно CD. Теорема доказана с помощью обратного утверждения.
Углы и решение задач
Итак, знание различных видов углов и их свойств позволяет эффективно решать многие геометрические задачи. Это один из ключевых моментов при доказательстве теорем, вычислении углов в треугольниках и четырехугольниках.
Важно не только зазубрить теоремы, но и понимать суть явлений. Тогда можно творчески применять свойства углов в новых нестандартных ситуациях.
Где еще встречаются эти углы?
Хотя мы рассматривали углы в основном на плоскости, похожие конфигурации можно наблюдать и в окружающем пространстве.
Например, если вы посмотрите на железнодорожные пути, уходящие вдаль, то увидите что-то вроде параллельных прямых. А опоры электропередач или забора - похожи на секущую.
Значит, и в реальном мире есть место этим удивительным углам!
