Бесконечные суммы часто кажутся чем-то таинственным и непостижимым. На самом деле, используя математический аппарат, мы можем не только формально определить такие суммы, но и вычислить их весьма конкретные значения. Давайте попробуем разобраться в этом на примере бесконечно убывающих геометрических прогрессий!
1. Основные понятия
Для начала давайте вспомним, что такое геометрическая прогрессия и какие существуют формулы для работы с ней.
Геометрической прогрессией называется последовательность чисел $b_1, b_2, b_3, \ldots$, в которой каждый следующий член получается из предыдущего умножением на некоторое постоянное число $q$.
Здесь $b_1$ - первый член прогрессии, а $q$ - ее знаменатель. Если прогрессия конечна и состоит из $n$ членов, то обозначим ее последний член через $b_n$.
Тогда для любого члена прогрессии с номером $k$ справедлива формула $n$-го члена:
$b_k = b_1 \cdot q^{k-1}$
А сумма первых $n$ членов конечной прогрессии вычисляется по формуле:
$S_n = \cfrac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ при $q \neq 1$
Рассмотрим теперь бесконечную геометрическую прогрессию - такую, которая продолжается до бесконечности. Чтобы говорить о сумме бесконечного числа слагаемых, нам понадобится понятие предела последовательности. Напомним, что это такое:
Пусть $a_1, a_2, a_3, \ldots$ - числовая последовательность. Тогда пределом этой последовательности при $n \to \infty$ называется число $A$, к которому сколь угодно близко подходят члены последовательности, начиная с некоторого номера.
Используя это понятие, можно определить сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Эта сумма равна пределу сумм $S_n$ первых $n$ членов прогрессии при $n \to \infty$.
2. Вывод формулы суммы
Давайте теперь выведем формулу для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Рассмотрим последовательные суммы:
- $S_1 = b_1$
- $S_2 = b_1 + b_2$
- $S_3 = b_1 + b_2 + b_3$
- $\ldots$
- $S_n = b_1 + b_2 + \ldots + b_n$
Поскольку модуль знаменателя $|q| < 1$, то $b_n \to 0$ при $n \to \infty$. Значит, последовательность $S_n$ ограничена, и, согласно признаку Коши, имеет предел. Обозначим его через $S$:
$S = \lim\limits_{n \to \infty} S_n$
Применим известную теорему о пределе переменной. Получаем:
$S = b_1 + b_2 + b_3 + \ldots = \cfrac{b_1}{1 - q}$
Это и есть искомая формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии!
3. Примеры применения формулы
Теперь, когда у нас есть формула, давайте посмотрим, как ее можно использовать на практике. Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Обращение периодической дроби в обыкновенную
Пусть дана периодическая дробь вида 0.454545.... Представим ее в виде суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
- $b_1 = 0,4$
- $b_2 = 0,04$
- $b_3 = 0,004$
- $\ldots$
Здесь $q = 0,1$. Подставляя в формулу суммы, получаем:
$S = \cfrac{b_1}{1 - q} = \cfrac{0,4}{1 - 0,1} = \cfrac{2}{9}$
Получили обыкновенную дробь, равную данной периодической.
Пример 2. Вписанные многоугольники
Рассмотрим сумму площадей треугольников, вписанных один в другой. Пусть сторона начального треугольника равна $a$. Тогда:
- $S_1 = \cfrac{\sqrt{3}}{4}a^2$
- $S_2 = \cfrac{\sqrt{3}}{4}(\cfrac{a}{2})^2$
- $\ldots$
- $S_n = \cfrac{\sqrt{3}}{4}(\cfrac{a}{2^{n-1}})^2$
Это геометрическая прогрессия с $q = \cfrac{1}{4}$ и $b_1 = \cfrac{\sqrt{3}}{4}a^2$. Подставляя ее сумму равную 32, получаем:
$S = \cfrac{b_1}{1 - q} = 32$
Выразив отсюда $a$, можно найти размер начального треугольника.
4. Особые случаи
Помимо основного случая, существует несколько особых ситуаций, требующих отдельного рассмотрения.
Сумма конечной прогрессии
Для конечной геометрической прогрессии формула суммы уже приводилась ранее. Однако ее можно получить и как частный случай суммы бесконечной прогрессии, приравняв к нулю все члены начиная с $(n+1)$-го.
Сумма при $q=1$
Если знаменатель прогрессии равен 1, то все ее члены одинаковы. Поэтому сумма в этом случае тоже вырождается в конечную величину, несмотря на бесконечное число слагаемых.
Разложение рациональной дроби в ряд
Любую рациональную дробь вида $\cfrac{P(x)}{Q(x)}$ где $P(x)$ и $Q(x)$ - многочлены, можно представить в виде суммы бесконечной геометрической прогрессии:
$\cfrac{P(x)}{Q(x)} = b_1 + b_2x + b_3x^2 + \ldots$
Это делается с помощью деления многочленов с остатком. Полученный ряд называется рядом Тейлора данной дроби.
Связь со степенными рядами
Если в формуле суммы заменить $q = 1+t$, где $t$ - малая величина, и разложить выражение в ряд Тейлора, то получится степенной ряд:
$S = b_1(1 - (1+t)^{-1}) = b_1(1 - (1 - t + t^2 - t^3 + \ldots)) = b_1(t - t^2 + t^3 - \ldots)$
Таким образом, суммы геометрических прогрессий тесно связаны со степенными рядами.
Обобщения
Формулу суммы можно обобщить на случай комплексных и векторных прогрессий, заменив обычное произведение на комплексное или векторное.
Применение в физике
Рассмотрим пример использования геометрических прогрессий в физике. Пусть тело падает с высоты H. На каждом отрезке пути оно равноускоренно разгоняется под действием силы тяжести. Тогда скорости движения на последовательных участках пути образуют геометрическую прогрессию:
- $v_1 = \sqrt{2gH}$
- $v_2 = \sqrt{2g(H - H/2)} = \sqrt{2gH}/\sqrt{2}$
- $v_3 = \sqrt{2gH}/2$
- ...
Сумма кинетических энергий на всех участках равна потенциальной энергии тела на начальной высоте $mgH$. Этот результат можно получить, подставив скорости в формулу суммы геометрической прогрессии.
Приложения в экономике
В финансовой математике часто используется понятие бесконечного потока платежей - последовательности поступлений или расходов денег. Такие потоки моделируются с помощью бесконечных геометрических прогрессий. Их суммы позволяют вычислить различные экономические показатели.
Обобщение на произвольные последовательности
Понятие суммы бесконечной числовой последовательности можно обобщить на случай произвольной последовательности $a_n$, сходящейся к нулю. Это делается с помощью пределов, аналогично выводу формулы для геометрической прогрессии.
