Внутренние односторонние углы играют важную роль в геометрии, позволяя определять параллельность прямых и решать многие задачи. Давайте разберемся в их свойствах и применении на практике.
Определение внутренних односторонних углов
Внутренними односторонними называются углы, которые образуются внутри участка между двумя параллельными прямыми при их пересечении третьей прямой-секущей. Такие углы лежат по одну сторону от секущей.
Основные свойства внутренних односторонних углов:
- Располагаются внутри участка между параллельными прямыми
- Лежат по одну сторону от секущей
- Всегда два таких угла при пересечении двух прямых секущей
На рисунке показан пример внутренних односторонних углов ∠1 и ∠2, образованных при пересечении параллельных прямых a и b секущей c:
Из определения следует, что при пересечении двух параллельных прямых секущей всегда образуется две пары таких углов.
Внутренние односторонние углы при параллельных прямых
Рассмотрим более подробно, какие закономерности возникают с внутренними односторонними углами, когда прямые a и b параллельны:
- Сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых равна 180°
- Если сумма односторонних углов равна 180° - прямые параллельны
Эти важные свойства записываются в виде теорем:
Теорема 1. Если при пересечении двух прямых a и b секущей c образовались внутренние односторонние углы, и a||b, то ∠1 + ∠2 = 180°.
Теорема 2. Если при пересечении двух прямых a и b секущей c образовались внутренние односторонние углы ∠1 и ∠2 такие, что ∠1 + ∠2 = 180°, то прямые a и b параллельны.
Доказательства этих утверждений можно найти в учебниках геометрии. Далее рассмотрим числовые примеры.
Задача. Даны две прямые a и b и секущая c. Угол ∠1 = 100°, найти угол ∠2.
Решение:
Прямые a и b параллельны. Согласно теореме 1:
∠1 + ∠2 = 180°
100° + ∠2 = 180° ∠2 = 180° - 100° = 80°
Ответ: угол ∠2 = 80°.
Равенство внутренних односторонних углов
Когда внутренние односторонние углы могут быть равны? Рассмотрим два условия:
- Прямые a и b параллельны, секущая c перпендикулярна им.
- Прямые a и b совпадают.
Запишем эти утверждения в виде теоремы:
Теорема 3. При пересечении двух параллельных прямых a и b секущей c внутренние односторонние углы ∠1 и ∠2 равны тогда и только тогда, когда секущая c перпендикулярна прямым a и b.
Доказательство...
Доказательство этой теоремы можно попробовать вывести самостоятельно. А для закрепления решим числовую задачу:
Даны прямые a и b, c - перпендикуляр к ним. Найти углы ∠1 и ∠2, если сумма внутренних односторонних углов по теореме 1 равна 180°.
Решение:
Так как c ⊥ a и c ⊥ b, по теореме 3 ∠1 = ∠2. Согласно теореме 1: ∠1 + ∠2 = 180°, отсюда ∠1 = ∠2 = 90°.
Ответ: ∠1 = ∠2 = 90°.
Применение внутренних односторонних углов
Где на практике можно использовать свойства внутренних односторонних углов?
- В технике при проектировании параллельных конструкций
- В строительстве при возведении зданий и сооружений
- В дизайне интерьеров с параллельными линиями и перпендикулярами
- В решении геометрических задач на вычисление углов и доказательство параллельности отрезков
Рассмотрим пример применения внутренних односторонних углов в задачах на построение:
Построить параллельные прямые a и b, если дан угол α = 40° и расстояние между прямыми d = 5 см. Найти внутренние односторонние углы ∠1 и ∠2.
Решение:
1. Строим произвольную прямую а. 2. Строим отрезок АВ = d = 5 см. 3. Строим угол ВАС = α = 40°. 4. Проводим через точку С прямую b параллельную a. 5. Измеряем или вычисляем ∠1 и ∠2. По теореме 1 ∠1 + ∠2 = 180°, откуда ∠1 = ∠2 = 70°.
Ответ: ∠1 = ∠2 = 70°.
Интересные факты о внутренних односторонних углах
- Угол между стрелками настенных часов составляет 360°/12 = 30°. Это внутренние односторонние углы при двух параллельных прямых - стрелках часов.
- В архитектуре часто используются перпендикулярные линии. На их пересечении образуются равные внутренние односторонние углы по 90°.
- Внутренние односторонние углы могут применяться при каллиграфии и рисовании орнаментов с параллельными линиями.
Открытые вопросы
Осталось еще много нерешенных вопросов о внутренних односторонних углах:
- Можно ли построить правильные многоугольники с использованием таких углов?
- Как связаны односторонние и вертикальные углы?
- Какие интересные геометрические фигуры получаются from внутренних односторонних углов?
Эти вопросы могут стать началом собственных исследований для закрепления материала.
Построение правильных многоугольников с использованием внутренних односторонних углов
Один из открытых вопросов в предыдущей части - можно ли использовать свойства внутренних односторонних углов при построении правильных многоугольников. Давайте попробуем разобраться.
Известно, что сумма всех внутренних углов любого выпуклого n-угольника равна . А каждый внутренний угол правильного n-угольника равен .
Рассмотрим построение правильного шестиугольника - правильного шестиугольника. Каждый его внутренний угол равен . Попробуем построить его следующим образом:
- Строим две параллельные прямые a и b на некотором расстоянии друг от друга
- Проводим секущую c под углом 60° к прямым a и b
- Проводим следующие секущие под углами 60° к предыдущим построениям
- Получаем правильный шестиугольник из внутренних односторонних углов по 60°
Аналогично можно построить правильные треугольник, квадрат, пятиугольник и другие правильные многоугольники!
Связь односторонних и вертикальных углов
Еще один интересный момент, требующий дополнительного изучения - как соотносятся между собой внутренние односторонние углы и вертикальные углы при пересечении параллельных прямых.
Напомним, что вертикальные углы - это углы с общей вершиной и вертикальными сторонами.
Из рисунка видно, что вертикальные углы (∠1 и ∠3, ∠2 и ∠4) тесно связаны с соответствующими парами внутренних односторонних углов.
Вывод:
- Одна пара вертикальных углов всегда лежит между каждой парой внутренних односторонних углов
- Вертикальные и соответствующие им односторонние углы равны
