Эпюры изгибающих моментов являются важнейшим инструментом при расчете на прочность и жесткость различных строительных конструкций - балок, рам, ферм и других. Знание принципов построения и анализа эпюр позволяет инженеру правильно подобрать сечение элемента для восприятия возникающих усилий.
Назначение эпюр изгибающих моментов
Эпюра изгибающих моментов показывает распределение изгибающего момента по длине балки при действии внешней нагрузки. По величине изгибающего момента определяют необходимый момент сопротивления сечения балки. Чем больше изгибающий момент, тем больше должен быть момент сопротивления сечения.
Таким образом, зная эпюру, можно определить опасные сечения и подобрать наиболее экономичную форму поперечного сечения по длине балки.
Виды эпюр
Различают несколько основных видов эпюр изгибающих моментов:
- Эпюры для балок (однопролетных, многопролетных, консольных)
- Эпюры для рам и арок
- Эпюры для ферм
Кроме того, различают эпюры для различных загружений:
- Равномерно распределенная нагрузка
- Сосредоточенная сила
- Треугольная нагрузка
- Сочетание указанных нагрузок
Как строить эпюру изгибающих моментов
Для построения эпюры изгибающих моментов выполняют следующие действия:
- Наносят схему загружения балки с указанием всех внешних сил
- Вырезают отдельно взятый элемент балки длиной dx
- Определяют из уравнений равновесия реакции опор балки
- Составляют аналитическое выражение для определения изгибающего момента в произвольном сечении
- Строят эпюру изгибающих моментов в виде графика M(x)
Далее приведен пример построения эпюры изгибающего момента балки для случая равномерно распределенной нагрузки q. Из анализа равновесия элемента dx получаем дифференциальное уравнение
M(x) = q*x - q*L
где L - длина балки, q - интенсивность распределенной нагрузки. Интегрируя это уравнение с граничными условиями M(0) = 0 и M(L) = 0, получаем эпюру изгибающих моментов:
| X | 0 | L/2 | L |
| M(x) | 0 | q*L^2/4 | 0 |
Максимальный изгибающий момент возникает в середине пролета. Эпюра имеет треугольную форму.
Применение эпюр для расчета балок
Зная эпюру изгибающих моментов для балки, можно выполнить расчет ее прочности. Согласно теории прочности, нормальные напряжения от изгиба вычисляются по формуле
σ = M(x)*y/I
где М(х) - изгибающий момент в данном сечении, I - момент инерции сечения относительно нейтральной оси, y - расстояние от нейтральной оси.
Для экономичного проектирования выбирают переменную по длине высоту сечения балки, исходя из величины изгибающего момента на каждом участке. Чем больше М, тем выше должна быть жесткость сечения (момент инерции I). Благодаря этому можно снизить объем материала и массу конструкции при обеспечении требуемой прочности.
Особенности построения эпюры напряжений
Кроме эпюры изгибающих моментов, важной характеристикой является эпюра нормальных напряжений. Ее строят на основании эпюры М(х) по формуле:
σ(x) = M(x)*y/I(x)
Особенность заключается в том, что необходимо учитывать изменение момента инерции I(x) по длине балки переменного сечения. С увеличением высоты сечения возрастает и жесткость балки в данном сечении, что приводит к перераспределению напряжений.
Эпюры напряжений используются для окончательной проверки прочности балки и оптимизации ее сечения.
Пример расчета двухпролетной балки
Рассмотрим в качестве примера двухпролетную балку со схемой загружения, как показано на рисунке:
Выполним следующие действия:
- Определим реакции опор из условий статического равновесия
- Запишем аналитические выражения и построим эпюры изгибающих моментов для каждого пролета
- Найдем наибольший изгибающий момент
- Подберем сечение, удовлетворяющее прочности
- Спроектируем балку переменного сечения
- Проверим прочность по нормальным напряжениям
Таким образом будет выполнено построение эпюр и прочностной расчет двухпролетной балки с использованием эпюр изгибающих моментов и нормальных напряжений.
Определение реакций опор
Для нахождения реакций опор рассматриваем равновесие всей балки относительно опор A и B. Получаем уравнения статики:
- ∑MA = 0: RA*3 - 10*1 - q*1,5^2/2 = 0
- ∑MB = 0: -RB*3 + 10*5 + q*1,5^2/2 = 0
Решая эту систему, находим: RA = 7,5 кН, RB = 2,5 кН.
Эпюры изгибающих моментов
Для каждого пролета записываем выражение изгибающего момента, используя значения реакций опор и внутренних усилий от внешней нагрузки:
- Пролет AB: M1(x) = 7,5x - 10(3 - x)
- Пролет BC: M2(x) = -2,5x - 10(x - 3)
Строим эпюры изгибающих моментов. Максимальный момент Ммакс = 22,5 кН∙м.
Подбор сечения балки
По максимальному моменту подбираем прокатный двутавр с запасом. Принимаем двутавр 30Ш1, для которого W = 840 см3.
Проверяем: σ = Mmax*y/W = 22,5*12,8/840 = 0,34 кН/см2 < [σ] = 1,6 кН/см2.
Условие прочности выполняется.
Оптимизация сечения
Проектируем балку переменной высоты, исходя из эпюры изгибающих моментов. В середине пролетов высота сечения максимальна, над опорами высота минимальна.
Строим эпюру нормальных напряжений с учетом изменения момента инерции по длине балки. Рассчитываем максимальные напряжения в опасных сечениях.
Проверяем: σmax = 0,95 кН/см2 < [σ].
Вывод: принятое переменное сечение балки удовлетворяет прочности и является оптимальным.
Особенности расчета в ПК ЛИРА-САПР
Расчет балок на изгиб в программном комплексе ЛИРА-САПР имеет ряд особенностей. В частности, здесь автоматизированы:
- задание нагрузок и опорных условий;
- автоматическое построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов по всем элементам;
- подбор сечений исходя из эпюр М и проверка прочности;
- оптимизация сечений для переменной высоты балок.
Такой расчет позволяет быстро и с высокой точностью выполнить анализ напряженно-деформированного состояния при изгибе, что важно в сопромате.
Учет собственного веса балки
Помимо внешних нагрузок, на балку действует ее собственный вес. Для учета влияния собственного веса используют один из двух методов:
- Приведение собственного веса балки к равномерно распределенной нагрузке по всей длине балки или отдельных участков с постоянным поперечным сечением.
- Задание сосредоточенных сил в узлах конечно-элементной модели, эквивалентных собственному весу элементов.
После учета собственного веса перестраиваются эпюры изгибающих моментов и напряжений. Это может привести к уточнению или изменению выбранного сечения балки.
Устойчивость балок при изгибе
Важной задачей при расчете балок на изгиб является проверка общей устойчивости формы равновесия и местной устойчивости сжатого пояса балки.
Для этого используют соответствующие критерии и методы расчета с учетом геометрических размеров поперечного сечения, длины балки, коэффициентов продольного изгиба.
Учет нелинейных эффектов
При значительных прогибах балки возникают нелинейные эффекты, связанные с перераспределением внутренних усилий.
Для их учета используют различные подходы, в том числе геометрически нелинейный расчет с учетом 2-го и 3-го членов разложения перемещений в ряд Тейлора.
Численное моделирование изгиба балок
Помимо аналитических методов расчета, для анализа напряженно-деформированного состояния балок при изгибе широко используется численное моделирование методом конечных элементов.
Это позволяет более детально исследовать сложные задачи с учетом различных нелинейных эффектов, анизотропии, пластических деформаций и других факторов.
Особенности изготовления и монтажа
При производстве и монтаже балочных конструкций необходим контроль их реальной геометрии и соответствия проекту для обеспечения требуемой несущей способности.
Контролируются отклонения линейных размеров, искривление оси балки, отклонения сечения, качество сварных швов и другие параметры.
Расчеты балок на выносливость
Помимо статической прочности, важным критерием работоспособности балок является сопротивление усталостному разрушению при многократно повторяющейся нагрузке.
Для таких расчетов на выносливость используют специальные методики с учетом характера циклических нагрузок, концентрации напряжений, качества поверхности, реальных свойств материалов.
Особенности динамических расчетов
При динамических воздействиях на балку с переменной интенсивностью и частотой возникают инерционные силы, которые также должны учитываться в расчете.
Применяются специальные подходы - модальный анализ, интегрирование уравнений движения, учет демпфирования колебаний.
Влияние агрессивных сред
Снижение несущей способности балок в процессе эксплуатации может быть вызвано воздействием агрессивных сред - кислот, щелочей, солей, влаги.
Для защиты применяют различные методы антикоррозионной защиты - металлизация, окраска, облицовка, катодная защита.
Ремонт и усиление балок
При обнаружении дефектов и повреждений в балках применяют различные методы восстановления и усиления - заварка трещин, установка накладок, наращивание сечения, предварительное напряжение.
Выбор метода зависит от характера дефекта, требуемого уровня восстановления несущей способности, технологичности.
Утилизация балок
После окончания срока службы конструкций необходима их утилизация - демонтаж, порезка, сортировка, переплавка, повторное использование материалов.
Разрабатываются технологии эффективной утилизации с минимальным ущербом для экологии на основе современного оборудования для резки и сортировки лома черных и цветных металлов. Статья посвящена эпюрам изгибающих моментов - важному инструменту при расчете балок на прочность. Рассматриваются назначение эпюр, методики построения для разных видов нагрузки.
