Задачи про площадь квадрата и многое другое

Такой удивительный и знакомый квадрат. Он симметричен относительно своего центра и осей, проведенных по диагоналям и через центры сторон. А искать площадь квадрата или его объем вообще не составляет большого труда. Особенно если известна длина его стороны.

Несколько слов о фигуре и ее свойствах

Первые два свойства связаны с определением. Все стороны фигуры равны друг другу. Ведь квадрат — это правильный четырехугольник. Причем у него обязательно все стороны равны и углы имеют одинаковое значение, а именно — 90 градусов. Это второе свойство.

Третье связано с длиной диагоналей. Они тоже оказываются равными друг другу. Причем пересекаются под прямыми углами и в точках середины.

Формула, в которой используется только длина стороны

Сначала об обозначении. Для длины стороны принято выбирать букву «а». Тогда площадь квадрата вычисляется по формуле: S = а².

Она легко получается из той, что известна для прямоугольника. В ней длина и ширина перемножаются. У квадрата эти два элемента оказываются равными. Поэтому в формуле появляется квадрат этой одной величины.

Формула, в которой фигурирует длина диагонали

Она является гипотенузой в треугольнике, катетами которого являются стороны фигуры. Поэтому можно воспользоваться формулой теоремы Пифагора и вывести равенство, в котором сторона выражена через диагональ.

Проведя такие несложные преобразования, получаем, что площадь квадрата через диагональ вычисляется по такой формуле:

S = d² / 2. Здесь буквой d обозначена диагональ квадрата.

Формула по периметру

В такой ситуации необходимо выразить сторону через периметр и подставить его в формулу площади. Поскольку одинаковых сторон у фигуры четыре, то периметр придется разделить на 4. Это будет значение стороны, которую потом можно подставить в начальную и сосчитать площадь квадрата.

Формула в общем виде выглядит так: S = (Р/4)².

Задачи на расчеты

№ 1. Имеется квадрат. Сумма двух его сторон равна 12 см. Вычислите площадь квадрата и его периметр.

Решение. Поскольку дана сумма двух сторон, то нужно узнать длину одной. Так как они одинаковые, то известное число нужно просто разделить на два. То есть сторона данной фигуры равна 6 см.

Тогда его периметр и площадь легко вычисляются по приведенным формулам. Первый равен 24 см, а вторая - 36 см².

Ответ. Периметр квадрата равняется 24 см, а его площадь — 36 см².

№ 2. Узнайте площадь квадрата с периметром, равным 32 мм.

Решение. Достаточно просто подставить значение периметра в написанную выше формулу. Хотя можно сначала узнать сторону квадрата, а уже потом его площадь.

В обоих случаях в действиях сначала будет идти деление, а потом возведение в степень. Простые расчеты приводят к тому, что площадь представленного квадрата равна 64 мм².

Ответ. Искомая площадь равна 64 мм².

№ 3. Сторона квадрата равна 4 дм. Размеры прямоугольника: 2 и 6 дм. У какой из этих двух фигур больше площадь? На сколько?

Решение. Пусть сторона квадрата будет обозначена буквой а₁, тогда длина и ширина прямоугольника а₂ и в₂. Для определения площади квадрата значение а₁ полагается возвести в квадрат, а прямоугольника — перемножить а₂ и в₂ . Это несложно.

Получается, что площадь квадрата равна 16 дм², а прямоугольника - 12 дм². Очевидно, что первая фигура больше второй. Это при том, что они равновелики, то есть имеют одинаковый периметр. Для проверки можно сосчитать периметры. У квадрата сторону нужно умножить на 4, получится 16 дм. У прямоугольника сложить стороны и умножить на 2. Будет то же число.

В задаче требуется еще ответить, на сколько площади различаются. Для этого из большего числа вычитают меньшее. Разница оказывается равной 4 дм².

Ответ. Площади равны 16 дм² и 12 дм². У квадрата она больше на 4 дм².

Задача на доказательство

Условие. На катете равнобедренного прямоугольного треугольника построен квадрат. К его гипотенузе построена высота, на которой построен еще один квадрат. Доказать, что площадь первого в два раза больше, чем второго.

Решение. Введем обозначения. Пусть катет равен а, а высота, проведенная к гипотенузе, х. Площадь первого квадрата — S₁, второго — S₂.

Площадь квадрата, построенного на катете, вычисляется просто. Она оказывается равной а². Со вторым значением все не так просто.

Для начала нужно узнать длину гипотенузы. Для этого пригодится формула теоремы Пифагора. Простые преобразования приводят к такому выражению: а√2.

Поскольку высота в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию, является еще и медианой и высотой, то она делит большой треугольник на два равных равнобедренных прямоугольных треугольника. Поэтому высота равна половине гипотенузы. То есть х = (а√2)/2. Отсюда легко узнать площадь S₂. Она получается равной а²/2.

Очевидно, что записанные значения отличаются ровно в два раза. Причем вторая в это число раз меньше. Что и требовалось доказать.

Необычная головоломка — танграм

Она делается из квадрата. Его необходимо по определенным правилам разрезать на различные фигуры. Всего частей должно оказаться 7.

Правила предполагают, что в процессе игры будут использоваться все получившиеся детали. Из них нужно составлять другие геометрические фигуры. Например, прямоугольник, трапецию или параллелограмм.

Но еще интереснее, когда из кусочков получаются силуэты животных или предметов. Причем оказывается, что площадь всех производных фигур равна той, что была у начального квадрата.