Что такое пирамида? Определение пирамиды, ее основание, ребра, поверхность

Вспоминая величественные сооружения Древнего Египта, можно назвать пирамиду самой таинственной геометрической фигурой. В данной статье дадим определение пирамиды. Пирамиду также рассмотрим с точки зрения составляющих ее элементов и ее свойств.

Что собой представляет пирамида?

С точки зрения стереометрии (геометрия трехмерного пространства), можно дать следующее определение пирамиды: пирамидой называется трехмерная фигура, которая ограничена треугольными гранями и одной многоугольной гранью. Данное определение является весьма простым и геометрически правильным. Тем не менее оно не позволяет ясно представить себе, о какой фигуре идет речь.

Можно дать более ясное определение пирамиды: пирамида - это фигура, которая получается в результате соединения прямыми отрезками некоторой точки в пространстве с вершинами выбранного многоугольника. Предположим, что у нас имеется n-угольник (n - целое число), расположенный в некоторой плоскости. Выберем произвольную точку пространства, которая не лежит в плоскости n-угольника. Для определенности назовем эту точку буквой H. Если отрезками соединить все вершины n-угольника с точкой H, то мы получим пирамидальную поверхность. Если к ней добавить еще n-угольное основание, то образованная фигура будет пирамидой.

Выше схематический рисунок демонстрирует четырехугольную пирамиду произвольного типа, построенную по описанному выше способу.

Из чего состоит фигура?

Познакомившись с определением пирамиды (пирамида в геометрии является полиэдром), можно переходить к рассмотрению элементов, которыми она образована. Приведем еще раз пример пирамиды.

На данном рисунке изображена шестиугольная пирамида. Так она называется по причине того, что в основании фигуры расположен шестиугольник. Взглянув на рисунок, можно выделить три основных геометрических элемента, которые составляют пирамиду:

• вершины;
• ребра;
• грани.

Начнем характеристику фигуры с вершин. Они являются "острыми" концами пирамиды. Всего у фигуры n+1 вершина, что становится очевидным, если вспомнить об n вершинах основания и одной точке H, не принадлежащей основанию. Точка H является особенной вершиной фигуры, поскольку она участвует в определении различных типов пирамид. Вершина H отличается от остальных вершин тем, что в ней пересекаются все n треугольников фигуры.

Ребра - это отрезки, соединяющие между собой вершины в единую конструкцию. Ребра пирамиды бывают двух типов: во-первых, это ребра основания, количество которых равно n, во-вторых, это ребра боковой поверхности, их число также равно n. Таким образом, число ребер рассматриваемой фигуры равно 2*n.

Грани, или стороны - важные элементы любой пирамиды, которые придают фигуре объемный вид. Грани у фигуры, как и ребра, бывают двух типов: во-первых, это основание пирамиды, которое представляет собой плоский многоугольник с n вершинами и n сторонами, во-вторых, это треугольники боковой поверхности. Количество треугольников любой пирамиды равно n. В итоге рассматриваемый полиэдр состоит из n+1 одной грани.

В середине XVIII века ученый из Швейцарии Леонард Эйлер опубликовал в одном из своих трудов теорему, которая связывает количества рассмотренных элементов полиэдра в единое равенство. Теорема гласит: если взять сумму граней и вершин, а затем из нее вычесть число 2, то получается сумма всех ребер полиэдра. Для пирамиды с n-угольным основанием имеем:

2*n = (n+1) + (n+1) - 2

Прямые и наклонные пирамиды

При рассмотрении вопроса, что такое пирамида, выше было сказано, что в зависимости от числа сторон (углов) многоугольного основания говорят о пирамидах четырехугольной, пятиугольной, треугольной и так далее.

Существует еще одна важная классификация этих фигур: они могут быть прямыми и наклонными. Если из вершины H фигуры провести к основанию перпендикуляр, то в некоторой точке O он пересечет основание пирамиды. Если точка O является геометрическим центром n-угольника, значит, пирамида будет прямой. Если O этим центром не является, то пирамида будет наклонной.

Внешнее различие между этими типами фигур видно с первого взгляда. Наклонная и прямая пирамиды четырехугольные показаны ниже.

Пирамиды правильные

Еще один важный подкласс пирамид - это правильные фигуры. Правильной пирамида будет только в том случае, если для нее справедливы следующие два геометрических условия:

• она является прямой;
• ее основание - это n-угольник равносторонний и равноугольный.

Что значит "пирамида прямая", было отмечено в предыдущем пункте. Здесь лишь поясним второе условие. Правильный многоугольник может иметь сколько угодно сторон, начиная с 3-х. Так, правильными являются равносторонний треугольник, квадрат, шестиугольник с одинаковыми длинами сторон и углами по 120^o. Заметим, что ромб с одинаковыми сторонами не является правильным, поскольку у него не все углы равны друг другу.

Выше показаны четыре правильные пирамиды, обладающие разными правильными основаниями.

Любые математические расчеты параметров удобно проводить именно для правильных фигур.

Параметры пирамиды линейные и угловые

Линейные характеристики пирамиды любого типа позволяют однозначно рассчитать любые другие свойства фигуры. В стереометрии выделяют четыре типа линейных параметров:

• длина стороны основания (если основание является неправильным, тогда необходимо для однозначности знать длины всех сторон и углы между ними);
• высота;
• длина бокового ребра (ребер, если треугольники боковой поверхности не равны друг другу);
• апофема фигуры (высота боковой грани, проведенная из вершины H).

Помимо названных характеристик, в некоторых задачах также приводятся значения углов двугранных между боковой гранью и основанием или углов линейных между боковым ребром и основанием.

В случае правильных пирамид существуют конкретные математические равенства, которые связывают все отмеченные параметры.

Поверхность пирамиды и ее площадь

Как известно, рассмотрение площадей пространственных фигур принято и удобно осуществлять на примерах их плоских разверток. Чтобы показать, о чем идет речь, ниже приведена развертка для правильной пятиугольной пирамиды.

Поскольку все грани пирамиды представлены на плоскости, то рассчитать их площадь очень просто, для этого следует сложить площади всех n треугольников и площадь одного n-угольника. Если все стороны и углы названных фигур известны, то решить поставленную задачу несложно, если воспользоваться формулами для площади соответствующей фигуры.

Объем геометрической фигуры

Поскольку пирамида имеет грани, то ограничиваемый ими объем пространства является объемом самой фигуры. Для пирамиды произвольного типа расчет этой величины производится с использованием следующей формулы:

V = 1/3*S_o*h

То есть если взять произведение высоты h на площадь основания S_o, а затем полученный результат разделить на три, то мы получим объем фигуры.

Для правильных пирамид V является функцией всего двух переменных: высоты h и стороны основания a.

Решение задачи на примере треугольной пирамиды

Закрепим полученные в статье знания, решив такую задачу: известно, что основание правильной треугольной пирамиды имеет длину 10 см, а высота фигуры равна 15 см. Чему равны объем и площадь этой пирамиды?

Вычислим сначала площадь основания, которое является треугольником равносторонним. Соответствующая формула имеет вид:

S_o = √3/4*a² = √3/4*10² = 43,3 см²

Теперь вычислим апофему пирамиды. Сделать это можно, если рассмотреть прямоугольный треугольник, построенный на апофеме и высоте. Длина апофемы h_b вычисляется так:

h_b = √(a²/12+h²) = √(10²/12 + 15²) = 15,275 см

Подготовительные вычисления проведены, теперь можно получать ответы на задачу. Итак, площадь поверхности пирамиды будет равна:

S = S_o + 3*1/2*a*h_b = 43,3 + 3/2*10*15,275 = 272,425 см²

Объем фигуры равен:

V = 1/3*S_o*h = 1/3*43,3*15 = 216,5 см³

При определении площади боковой поверхности мы учли, что все три боковых треугольника являются одинаковыми.