Матрицы являются одним из фундаментальных математических объектов, широко применяемых во многих областях науки и техники. Давайте разберемся, что представляет собой матрица, изучим ее свойства и практическое применение.
Определение матрицы
Матрица ― это прямоугольная таблица, состоящая из элементов некоторого множества, чаще всего чисел. Формально матрица задается как функция дискретных переменных, т.е. отображение:
A: {1, 2, ..., m} × {1, 2, ..., n} → K
где m ― число строк, n ― число столбцов, а K ― множество, элементы которого заполняют матрицу (числовое поле).
Размерность матрицы обозначается как m × n. Например, матрица 3 × 4 состоит из 3 строк и 4 столбцов.
Элементы матрицы A обычно обозначаются как aij, где индекс i соответствует номеру строки, а j – номеру столбца.
Например, элемент a23 находится на пересечении 2-й строки и 3-го столбца.
Элементы матрицы
Рассмотрим более подробно элементы, из которых состоит матрица размерности n × n.
- Диагональ, идущая слева сверху направо вниз, называется главной диагональю. Ее элементы имеют одинаковые индексы: a11, a22, ..., ann.
- Другая диагональ называется побочной. Ее элементы – a1n, a2(n-1), ..., an1.
- Элементы, стоящие выше главной диагонали, образуют верхнюю треугольную матрицу.
- Аналогично элементы под главной диагональю называют нижней треугольной матрицей.
Сумма элементов главной диагонали матрицы называется ее следом и является важной характеристикой матрицы при решении систем линейных уравнений и вычислении определителей.
| 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 |
| 7 | 8 | 9 |
На примере данной матрицы видно расположение элементов главной (выделены жирным шрифтом) и побочной диагоналей. След этой матрицы равен сумме выделенных элементов: 3 + 5 + 7 = 15.
Виды матриц
Существует несколько наиболее важных специальных видов матриц, обладающих определенными свойствами.
Виды матриц
Существует несколько наиболее важных специальных видов матриц, обладающих определенными свойствами.
Нулевая и единичная матрицы
Нулевая матрица, все элементы которой равны нулю, обозначается О. Единичная матрица I состоит из единиц на главной диагонали, а остальные элементы равны нулю. Умножение любой матрицы на единичную оставляет эту матрицу без изменений.
Квадратные матрицы
Если число строк и столбцов одинаково, матрица называется квадратной. Квадратные матрицы замкнуты относительно умножения, т.е. произведение двух квадратных матриц того же порядка дает матрицу того же размера.
Диагональные матрицы
В диагональных матрицах все недиагональные элементы равны нулю. Умножение диагональной матрицы на вектор эквивалентно умножению соответствующих элементов вектора на диагональные элементы.
Симметричные и кососимметричные матрицы
В симметричной матрице элементы симметричны относительно главной диагонали, т.е. aij = aji. В кососимметрических элементы антисимметричны: aij = -aji.
Треугольные матрицы
Если все элементы либо выше, либо ниже главной диагонали обращены в ноль, то такая матрица называется соответственно верхней или нижней треугольной.
Операции над матрицами
Над матрицами определен ряд важных алгебраических операций.
Сложение и вычитание
Для сложения и вычитания матриц необходимо, чтобы они были одинакового размера. Элементы с одинаковыми индексами складываются или вычитаются поэлементно.
Умножение на число
При умножении матрицы на число, каждый ее элемент умножается на данное число. Эта операция удовлетворяет свойствам дистрибутивности.
Умножение матриц
Умножение матриц определено только для случая, когда число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй. При перемножении матриц A и B получается матрица C, элементы которой вычисляются по формуле:
cij = ai1b1j + ai2b2j + ... + ainbnj
где n - число столбцов матрицы A (и строк матрицы B).
Возведение в степень
Любую квадратную матрицу можно возвести в натуральную степень. Это равносильно последовательному умножению матрицы на себя соответствующее число раз.
Транспонирование
Транспонированная матрица получается из исходной заменой всех строк на столбцы и наоборот. Обозначается записью AT. Транспонирование является инволюцией, т.е. (AT)T = A.
Обратная матрица
Если произведение квадратной матрицы A на некоторую матрицу X равно единичной матрице I, то X называется обратной матрицей к A и обозначается A-1.
Обратная матрица применяется, в частности, для решения матричных уравнений вида Ax = b. Тогда решение записывается как x = A-1b.
Применение матриц
Как уже упоминалось, матрицы находят обширное применение в различных областях математики, а также ее приложениях.
Матричная форма систем линейных уравнений
С помощью матриц удобно записывать и решать системы линейных алгебраических и дифференциальных уравнений. Каждому уравнению соответствует строка матрицы, а неизвестным - столбцы.
Матрицы в теории групп
Матрицы играют важную роль при изучении различных групп в алгебре: общих линейных, ортогональных, унитарных и др. Элементы этих групп могут быть представлены соответствующими матрицами.
Матрицы в теории групп
Матрицы играют важную роль при изучении различных групп в алгебре: общих линейных, ортогональных, унитарных и др. Элементы этих групп могут быть представлены соответствующими матрицами.
Применение матриц
Как уже упоминалось, матрицы находят обширное применение в различных областях математики, а также ее приложениях.
Матричная форма систем линейных уравнений
С помощью матриц удобно записывать и решать системы линейных алгебраических и дифференциальных уравнений. Каждому уравнению соответствует строка матрицы, а неизвестным - столбцы.
Линейные преобразования
Матрицы могут использоваться для компактной записи линейных преобразований векторов и координат, таких как повороты, масштабирования, отражения. Это связано с тем, что умножение вектора на матрицу по сути является линейным преобразованием.
Квадратичные формы
С помощью матриц также можно задавать и исследовать квадратичные формы от нескольких переменных. Для этого используется симметричная матрица, определяющая коэффициенты формы.
Нормальные формы матриц
Существует несколько канонических или нормальных форм, к которым можно привести матрицу с помощью эквивалентных преобразований.
Диагональная форма
Всякая квадратная матрица эквивалентна некоторой диагональной матрице, имеющей ненулевые элементы только на главной диагонали.
Жорданова нормальная форма
Это наиболее общая нормальная форма, позволяющая классифицировать матрицы на основе их характеристических значений.
Понятие об обобщенных матрицах
В заключение отметим, что понятие матрицы было обобщено в математике на случай элементов из произвольных алгебраических структур с соответствующими операциями.
