Самосопряженные операторы: определение, свойства, примеры

Самосопряженные операторы - важнейший класс линейных операторов, обладающих уникальными и полезными свойствами. Давайте разберемся, что это за операторы, каковы их основные свойства и где они применяются на практике.

1. Определение самосопряженного оператора

Дадим формальное определение самосопряженного оператора.

Линейный оператор A евклидова пространства E называется Самосопряженным или симметричным, если A = A^*, т.е. для любых векторов x, y ∈ E выполняется условие:

(Ax,y) = (x,Ay)

Здесь A^* - оператор, сопряженный к оператору A. Из определения видно, что самосопряженный оператор "симметричен" относительно скалярного произведения в евклидовом пространстве.

2. Условие самосопряженности оператора

Для того, чтобы оператор A был самосопряженным, нужно выполнение следующего условия:

• Для любых векторов x, y ∈ E должно выполняться равенство (Ax,y) = (x,Ay)

Это условие позволяет проверить, является ли данный оператор A самосопряженным в выбранном евклидовом пространстве E. Проверка заключается в подстановке произвольных векторов x, y в это условие.

3. Связь с симметричностью матрицы оператора

Матрица самосопряженного оператора A в ортонормированном базисе пространства E всегда симметрична :

Линейный оператор A евклидова пространства E самосопряжен тогда и только тогда, когда матрица A линейного оператора A в ортогональном базисе симметрическая матрица, т.е. A = A^*.

Это важное свойство позволяет установить самосопряженность оператора по виду его матрицы. И наоборот, если матрица оператора симметрична в некотором ортонормированном базисе, то этот оператор является самосопряженным.

4. Доказательство действительности собственных значений

Докажем одно фундаментальное свойство самосопряженных операторов:

Все характеристические числа самосопряженного оператора A - действительные числа и поэтому являются собственными значениями линейного оператора.

Пусть V = (V₁, V₂,..., V_N) ортонормированный базис евклидова пространства E, A - Матрица самосопряженного линейного оператора A в базисе V. Докажем, что все корни характеристического уравнения |A - λE| = 0 действительные числа.

Допустим противное, что характеристический многочлен имеет комплексный корень λ0∉ R. Рассмотрим однородную систему N линейных уравнений c N неизвестными.

Таким образом, мы доказали, что у самосопряженного оператора A все собственные значения действительны. Это важное свойство отличает такие операторы от обычных линейных операторов.

5. Существование ортонормированного базиса из собственных векторов

Самосопряженные операторы обладают еще одним полезным свойством:

Для всякого самосопряженного оператора A существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов этого оператора.

Это свойство позволяет представить самосопряженный оператор A в диагональном виде. Рассмотрим алгоритм построения такого базиса.

1. Найти собственное число λ₁ и собственный вектор x₁
2. Дополнить x₁ до базиса собственного подпространства E₁
3. Найти собственное число λ₂ и собственный вектор x₂ подпространства E₂ и т.д.

В итоге получится искомый ортонормированный базис {x₁, x₂, ..., x_N}. В этом базисе матрица оператора A будет диагональной с элементами λ₁, λ₂,..., λ_N на главной диагонали.

6. Алгоритм нахождения спектра самосопряженного оператора

Рассмотрим пошаговый алгоритм нахождения спектра (собственных значений) произвольного самосопряженного оператора A:

1. Найти корни характеристического многочлена det(A - λE) = 0. Все корни будут действительными собственными значениями λ₁, λ₂,..., λ_n.
2. Для каждого собственного значения λ_i найти множество линейно независимых собственных векторов, удовлетворяющих уравнению Ax = λx.
3. Провести ортогонализацию найденных собственных векторов методом Грама-Шмидта.
4. Нормировать полученные ортогональные векторы, чтобы превратить их в ортонормированный базис. В этом базисе оператор A будет представлен в каноническом виде.

Данный алгоритм позволяет найти спектр любого самосопряженного оператора и записать его матрицу в диагональном каноническом виде.

7. Пример вычисления спектра самосопряженного оператора

Рассмотрим конкретный пример нахождения спектра самосопряженного оператора A, заданного матрицей:

Проведем вычисления согласно алгоритму:

1. Находим характеристический многочлен и его корни: λ₁ = 1, λ₂ = 5, λ₃ = 9.
2. Находим собственные векторы для каждого собственного значения.
3. Проводим ортогонализацию собственных векторов методом Грама-Шмидта.
4. Нормируем ортогональные векторы. Получаем искомый базис, в котором оператор A принимает диагональный канонический вид.

Подробные вычисления приведены в следующем разделе.

8. Канонический вид самосопряженного оператора

Покажем, как выглядит канонический вид самосопряженного оператора A из предыдущего примера в базисе его собственных векторов:

Как видно, матрица оператора приняла диагональный вид с элементами λ₁ = 1, λ₂ = 5, λ₃ = 9 на главной диагонали. Это и есть каноническое представление самосопряженного оператора A.

9. Применение самосопряженных операторов

Какова практическая польза изученных свойств самосопряженных операторов? Рассмотрим основные области их применения:

• Квантовая механика (операторы физических величин)
• Цифровая обработка сигналов и изображений
• Математические методы машинного обучения

Благодаря своим свойствам, такие операторы играют важную роль в различных приложениях современной науки и техники.

10. Особенности вычисления спектра в случае кратных собственных значений

Рассмотренный выше алгоритм работает корректно, если у самосопряженного оператора A все собственные значения являются простыми, т.е. имеют кратность 1. Рассмотрим случай, когда некоторые собственные значения кратные.

Пусть λ₀ - k-кратное собственное число оператора A. Тогда:

1. Система уравнений (A - λ₀E)x = 0 будет иметь k линейно независимых решений {x₁, ..., x_k}. Это базис собственного подпространства E₀.
2. Для построения ортонормированного базиса нужно ортогонализовать найденные векторы методом Грама-Шмидта.
3. Аналогично найти базисы для всех собственных подпространств с кратными собственными значениями.

Таким образом, наличие кратных собственных значений лишь незначительно усложняет алгоритм нахождения спектра.

11. Связь с симметричностью квадратичной формы

Известно, что с каждым самосопряженным оператором A связана некоторая квадратичная форма Q(x) = (Ax,x). Рассмотрим свойства этой формы.

Поскольку оператор A самосопряженный, то квадратичная форма Q(x) = (Ax,x) является симметричной , т.е. ее матрица в любом базисе симметрична:

• Q(x + y) = Q(x) + Q(y) + (Ax,y) + (Ay,x)

Это эквивалентно самосопряженности оператора A. Таким образом, из симметрии квадратичной формы следует самосопряженность порождающего ее оператора.

12. Самосопряженные операторы в физике

Многие важные операторы физических величин являются самосопряженными. Например:

• Оператор энергии в квантовой механике.
• Оператор момента импульса.
• Гамильтониан в уравнении Шредингера.

Это связано с реальностью физических наблюдаемых и сохранением физических величин. Математически это выражается в действительности собственных значений и наличии ортогонального базиса состояний.

13. Обобщение на комплексное пространство

До сих пор речь шла о самосопряженных операторах, действующих в вещественных евклидовых пространствах. Обобщим понятие самосопряженности на случай комплексных евклидовых (унитарных) пространств.

Пусть Т - линейный оператор в унитарном пространстве H. Тогда оператор Т называется самосопряженным (эрмитовым) если:

• Для любых x, y ∈ H выполнено: (Tx,y) = (x,Ty)*

Здесь (x,y) - скалярное произведение в пространстве H, а * означает комплексное сопряжение. Из этого определения следуют аналоги рассмотренных ранее свойств.

14. Самосопряженные операторы в теории графов

Интересно, что идеи, связанные с самосопряженными операторами, применимы и за пределами линейной алгебры. Рассмотрим их проявление в теории графов.

Матрица смежности графа G является симметричной. Поэтому оператор А, задаваемый этой матрицей, самосопряженный. Спектр этого оператора содержит важную информацию о свойствах графа G.

15. Обобщения самосопряженных операторов

Существуют обобщения понятия самосопряженности:

• Условно самосопряженные операторы в пространствах с индефинитной метрикой.
• J-самосопряженные операторы с участием комплексной структуры J.

Для таких обобщенных классов операторов также выполняются аналоги рассмотренных свойств самосопряженных операторов в евклидовых пространствах.

16. Нерешенные вопросы и открытые проблемы

Несмотря на глубокую изученность, теория самосопряженных операторов по-прежнему содержит нерешенные вопросы и открытые проблемы, например:

1. Асимптотика собственных значений операторов в бесконечномерных пространствах.
2. Связь спектра оператора с геометрическими свойствами пространства.
3. Конструктивные методы приближенного нахождения собственных векторов.

Дальнейшее изучение этих вопросов может принести новые интересные результаты в теории линейных операторов.

17. Выводы

В этой статье мы познакомились с важнейшим классом линейных операторов - самосопряженными операторами. Были рассмотрены их основные свойства и приведены конкретные примеры вычисления спектра таких операторов. Надеюсь, эта информация была полезна и поможет вам в дальнейшем изучении линейной алгебры и ее приложений!