Действия с корнями: формулы, основные свойства и применение

Корни являются одной из наиболее сложных тем школьного курса математики. Но если выучить основные формулы, понять их вывод и логику применения, а также потренироваться в решении задач, эта тема перестанет казаться страшной. В данной статье мы подробно разберем все необходимые формулы, свойства и правила действий с корнями. Овладев ими, вы сможете без труда преобразовывать сложные выражения, решать иррациональные уравнения и неравенства любой сложности.

1. Определение и обозначение корней

Корень n-ой степени из числа a обозначается как √ⁿa и определяется так: это такое число b, которое при возведении в степень n дает число а: bⁿ = a.

Наиболее часто в школьном курсе встречаются корень квадратный, кубический и корни четвертой степени. Давайте разберем обозначения:

• Корень квадратный - √a или √²a
• Корень кубический - √³a
• Корень четвертой степени - √⁴a

Подкоренным выражением называется то, что находится под знаком корня. Например, в √³27 подкоренным выражением является 27.

При извлечении действия с корнями формулы четной и нечетной степени есть одно принципиальное отличие: под знаком корня четной степени должно находиться неотрицательное число, а под знаком корня нечетной степени - число любое.

Некоторые значения конкретных корней:

• √9 = 3
• √16 = 4
• √³8 = 2
• √³-64 = -4
• √⁴81 = 3

2. Основные формулы и правила действий с корнями

При выполнении действий с корнями используются следующие основные формулы:

Умножение корней:

• с одинаковыми показателями степени: √a ∙ √b = √(a ⋅ b)
• с разными показателями степени: √ⁿa ∙ √^mb = √^n+m(a ⋅ b)

Деление корней:

• с одинаковыми показателями степени: √a : √b = √(a/b)
• с разными показателями степени: √ⁿa : √^mb = √^n-m(a/b)

Также используются правила внесения множителя под знак корня и вынесения множителя из-под знака корня:

• a ∙ √b = √(a² ⋅ b)
• √(a ⋅ b) = √a ∙ √b

Приведем несколько примеров применения этих формул на практике:

1. √9 ∙ √25 = √(9 ⋅ 25) = √225 = 15
2. √8 : √2 = √(8/2) = √4 = 2
3. 2 ∙ √50 = √(2² ⋅ 50) = √100 = 10
4. √18 ∙ √32 = √(18 ⋅ 32) = √576 = 24
5. √(16 ⋅ 9) = √16 ∙ √9 = 4 ∙ 3 = 12

Действия с корнями формулы позволяют выполнять сложные преобразования и вычисления с корнями. Главное - четко знать основные формулы и правила, тогда любую задачу можно решить!

3. Преобразования выражений, содержащих корни

Помимо основных действий, при работе с корнями часто приходится выполнять различные преобразования выражений, содержащих корни. Рассмотрим наиболее важные из них.

Возведение корня в степень

Если корень возвести в степень, то произойдет возведение в эту же степень подкоренного выражения:

(√a)ⁿ = a^n/2

Например:

(√9)² = 9^2/2 = 9

Извлечение корня из степени числа

Чтобы извлечь корень из степени числа, надо показатель степени разделить на показатель корня:

√aⁿ = (√a)ⁿ

Например:

√27³ = (√27)³ = 3

4. Вынесение множителя из-под корня

Иногда требуется упростить выражение с корнем, вынеся некоторый множитель из-под знака корня. Это можно сделать, разложив подкоренное выражение на множители:

√a ∙ b = √a ∙ √b

Например:

√36 = √9 ∙ 4 = 6 ∙ √4 = 6 ∙ 2 = 12

5. Формулы действия со степенями корнями для освобождения от иррациональности

Зачастую нужно освободить дробь от иррациональности (корня) в знаменателе или числителе. Для этого используются специальные формулы:

∙ со √a / √a = a / a = 1

∙ (√a ± √b) / (√a ∓ √b) = (a ± 2√ab + b) / (a - b)

Рассмотрим примеры:

1. √5 / √5 = 5 / 5 = 1

2. (√7 + √24) / (√7 - √24) = (7 + 2√7∙24 + 24) / (7 - 24) = 31 / -17

6. Действия с корнями, содержащими отрицательное подкоренное выражение

Если под знаком корня находится отрицательное число, то при извлечении корня четной степени результат будет мнимым (комплексным) числом. А при нечетном показателе степени результат будет отрицательным числом:

√²ⁿ(-a) = i√a, где i - мнимая единица

√²ⁿ⁺¹(-a) = -√a

7. Решение иррациональных уравнений, содержащих корни

Иррациональными называются уравнения, которые содержат переменную под знаком корня. Для решения таких уравнений используется метод возведения обеих частей уравнения в степень, равную показателю корня.

Рассмотрим пример:

√x + 3 = 5

Возводим обе части уравнения в квадрат:

x + 3 = 25

x = 22

Ответ: x = 22

Решение более сложных иррациональных уравнений

Иногда встречаются более сложные иррациональные уравнения, например:

√(2x + 5) = 3x - 4

В этом случае сначала нужно освободить переменную x из-под знака корня, а затем возвести в квадрат:

2x + 5 = (3x - 4)²

2x + 5 = 9x² - 24x + 16

Далее решаем получившееся квадратное уравнение.

8. Решение неравенств, содержащих корни

При решении неравенств, содержащих корни, также применяется метод возведения в степень. Но здесь нужно быть осторожнее с возникающими при этом дополнительными решениями.

Рассмотрим пример:

√(2x - 3) < 5

Возводим в квадрат:

(2x - 3) < 25

2x - 3 < 25

2x < 28

x < 14

Получили решение x < 14. Но из-за возведения в квадрат появляется еще один корень уравнения 2x - 3 = 25. Решая его, находим дополнительное решение x = -1, которое тоже подходит под исходное неравенство.

Ответ: x < 14 или x = -1.

Метод интервалов

Для решения более сложных неравенств используется метод интервалов, когда числовую ось делят на отрезки, в пределах которых знаки неравенства не меняются.

9. Подобные корни и действия с ними

Корни называются подобными, если у них равны показатели степени и подкоренные выражения. Например:

√5 и √5 - подобные корни

√3x и √3y - подобные корни

√2 и √3 - не подобные корни

С подобными корнями можно выполнять такие действия, как сложение и вычитание (это называется приведением подобных корней):

√a ± √a = 2√a

√x ± √x = 2√x

Это свойство позволяет значительно упростить некоторые выражения, содержащие подобные корни. Например:

√7 + √7 = 2√7

2√2x - √2x = √2x

10. Применение свойств корней для решения задач

Рассмотрим несколько примеров того, как знание свойств и формул действий с корнями позволяет решать различные математические задачи.

1. Упростить выражение: √12 + 3√3 - 2√12
2. Решить уравнение: √(x+5) - √(x-7) = 6
3. Решить неравенство: √x + 5 > √(x - 3)

Подобные задачи можно решать, применяя рассмотренные ранее свойства и формулы для корней. Главное - правильно выбрать, какое свойство или формулу следует использовать в каждом конкретном случае.

Выводы

В статье разобраны различные формулы и свойства действий с корнями. Рассмотрены темы определения и обозначения корней, формул для умножения и деления корней, преобразований выражений с корнями, решения уравнений и неравенств с корнями. Приведено множество примеров применения действия с корнями формулы для решения математических задач. Информация будет полезной для школьников и абитуриентов для подготовки к экзаменам.