Автокорреляционная функция временного ряда. График автокорреляционной функции

Автокорреляционная функция - мощный инструмент для анализа структуры и свойств временных рядов. Она позволяет выявлять наличие трендов, сезонности и цикличности, оценивать стационарность ряда. В этой статье мы подробно разберем как рассчитывать и интерпретировать автокорреляционную функцию на практике.

Определение автокорреляционной функции

Формально автокорреляционная функция временного ряда определяется как последовательность коэффициентов корреляции между значениями самого ряда и его копией, сдвинутой на некоторое число наблюдений (лаг).

ρ_k = corr(X_t, X_t+k), где ρ_k - автокорреляция порядка k, X_t - значение ряда в момент t, X_t+k - значение ряда в момент t+k.

Поскольку автокорреляция является частным случаем ковариации, ее можно записать через ковариацию ряда с его сдвинутой копией:

γ_k = cov(X_t, X_t+k), где γ_k - автоковариация порядка k.

Для стационарного ряда автокорреляция зависит только от лага k и не меняется со временем t. Кроме того значения автокорреляции лежат в диапазоне [-1, 1].

Интерпретация автокорреляционной функции

Автокорреляционная функция временного ряда несет в себе важную информацию о структуре и свойствах самого ряда. Рассмотрим основные моменты ее интерпретации:

• Наличие выраженных максимумов автокорреляции при некоторых лагах k указывает на циклические компоненты в ряду с соответствующими периодами.
• Медленно убывающая автокорреляционная функция свидетельствует о наличии тренда в исходном ряде.
• Быстро убывающая до нуля автокорреляция при возрастании лагов - признак стационарного временного ряда со случайной компонентой.

Таким образом, анализируя график автокорреляционной функции, можно диагностировать основные характеристики структуры временного ряда.

Построение автокорреляционной функции

Для анализа временного ряда из n наблюдений по формуле вычисляется автокорреляция γ_k для лагов k от 0 до некоторого максимального значения k_max. Обычно берут k_max ≤ n/4.

Затем строится график зависимости γ_k от k, который называется коррелограммой.

По виду коррелограммы определяют основные характеристики временного ряда, о которых говорилось выше.

Применение в модели AR(1)

Рассмотрим использование автокорреляционной функции на примере простейшей авторегрессионной модели первого порядка AR(1):

X_t = αX_t-1 + ε_t

Можно показать, что для такой модели автокорреляционная функция имеет показательно убывающий вид:

ρ_k = α^k

То есть модель AR(1) обладает «долгой памятью», с постепенным затуханием автокорреляций при увеличении лага. Это свойство часто используется как критерий для определения порядка авторегрессии временного ряда.

Применение в модели MA(1)

Для модели скользящего среднего первого порядка MA(1)

X_t = μ + ε_t + θε_t-1

автокорреляционная функция имеет только один ненулевой коэффициент:

ρ₁ = θ, ρ_k = 0 при k > 1

Это свойство используется для определения порядка модели скользящего среднего временного ряда по количеству ненулевых автокорреляций.

Применение в модели ARMA

Для модели ARMA(p,q) со смешанной авторегрессией и скользящим средним:

X_t = a₁X_t-1 + ... + a_pX_t-p + ε_t + b₁ε_t-1 + ... + b_qε_t−q

справедливы следующие свойства автокорреляционной функции:

• Автокорреляции затухают, начиная с лага q
• Частная автокорреляционная функция затухает, начиная с лага p

Эти свойства позволяют идентифицировать порядки p и q модели ARMA по графикам автокорреляций.

Область значений автокорреляционной функции

Поскольку автокорреляционная функция является частным случаем коэффициента корреляции, ее значения всегда лежат в диапазоне [-1, 1].

Значения 1 и -1 соответствуют полной положительной или отрицательной линейной зависимости.

Нулевое значение означает отсутствие линейной корреляционной связи.

Построить автокорреляционную функцию сигнала

Для анализа сигнала его дискретные значения образуют временной ряд, для которого затем строится автокорреляционная функция.

Она позволяет обнаруживать периодические компоненты и скрытые частоты сигнала. Например, гармонический сигнал будет давать регулярные пики автокорреляции в коррелограмме.

Применение частной автокорреляционной функции

Частная автокорреляционная функция позволяет оценить «чистую» автокорреляцию порядка k, исключив влияние автокорреляций промежуточных порядков от 1 до k-1.

Она часто используется в моделях ARMA для идентификации порядков авторегрессии и скользящего среднего по поведению частных автокорреляций.

Прогнозирование временных рядов с помощью автокорреляционной функции

Информация, заключенная в автокорреляционной функции, может быть использована для прогнозирования будущих значений временного ряда.

Если ряд обладает долговременной памятью (автокорреляция плавно убывает с ростом лага), значит его текущие свойства сохранятся и в будущем. Это дает возможность построения точных прогнозов.

Однако для рядов с быстро убывающей автокорреляционной функцией прогнозирование затруднено из-за доминирования случайной составляющей.

Сезонность и тренды в автокорреляционной функции

Наличие сезонности во временном ряду проявляется в виде локальных максимумов автокорреляции при лагах, кратных периоду сезонности.

Монотонный тренд приводит к медленному плавному спаду автокорреляционной функции, в отличие от быстрого затухания корреляций в стационарных рядах.

Оценка стационарности временного ряда по автокорреляциям

Стационарность является важным свойством при моделировании временных рядов. Ее наличие можно диагностировать по автокорреляциям.

Резкое затухание автокорреляций с ростом лага и колебания около нуля указывает на стационарный процесс. В противном случае ряд скорее всего нестационарен.

Автокорреляции в нелинейных процессах

Описанный подход к анализу автокорреляций справедлив только для линейной зависимости в рядах. В нелинейных процессах поведение автокорреляций может существенно отличаться.

Поэтому при наличии нелинейных эффектов требуются дополнительные методы анализа с привлечением нелинейных моделей временных рядов.

Выбор параметров при анализе автокорреляционной функции

При практическом анализе временных рядов с помощью автокорреляционной функции требуется корректный выбор таких параметров как:

• Максимальный лаг k_max - обычно берут в диапазоне от n/4 до n/2, где n - объем выборки
• Шаг по лагу - может быть единичным или кратным ожидаемому периоду циклов в ряду
• Метод расчета автокорреляции - для рядов с пропусками применяют робастные оценки

Правильный учет этих нюансов повышает надежность получаемых результатов.

Визуализация автокорреляционной функции с помощью коррелограмм

Графическое представление автокорреляций в виде коррелограммы существенно упрощает интерпретацию результатов по сравнению с анализом массива числовых значений.

Визуально легче обнаруживаются особенности поведения автокорреляций: резкие спады, пики, колебания, что позволяет делать обоснованные выводы о структуре и свойствах временного ряда.

Использование автокорреляций в прикладных задачах

Помимо классического анализа временных рядов, автокорреляционная функция находит применение в различных прикладных задачах:

• Обработка сигналов - обнаружение скрытой периодичности
• Финансы - выявление циклов и трендов в финансовых данных
• Наука и техника - поиск характерных временных масштабов в экспериментальных данных

Ограничения метода автокорреляционного анализа

При всех достоинствах, у автокорреляционного анализа временных рядов есть и определенные ограничения, о которых следует помнить:

• Применим только для линейных зависимостей
• Требует достаточно большой выборки
• Вычислительная сложность возрастает с увеличением числа наблюдений

Устранение трендов и сезонности перед анализом автокорреляций

При наличии в ряду трендов и сезонности они могут искажать результаты автокорреляционного анализа. В таких случаях рекомендуется предварительно устранить эти компоненты.

Для удаления тренда используют разности исходного ряда, а для подавления сезонности - сезонные разности. После этого строят автокорреляционную функцию уже преобразованного ряда.

Выбор модели временного ряда по автокорреляциям

Вид автокорреляционной функции позволяет выбрать подходящий класс моделей - авторегрессию, скользящее среднее или их комбинацию - для моделирования анализируемого временного ряда.

Это один из ключевых этапов в правильной спецификации модели при прогнозировании временных рядов.

Сравнение автокорреляций экспериментальных данных с модельными

Оценку качества подгонки модели временного ряда к данным можно выполнить путем сравнения эмпирической автокорреляционной функции ряда с теоретической АКФ использованной модели.

Значительное расхождение указывает на необходимость уточнения спецификации модели для более адекватного описания особенностей данных.

Вычислительная эффективность алгоритмов расчета автокорреляций

При анализе больших объемов данных критически важна производительность алгоритмов. Существуют эффективные вычислительные схемы для расчета автокорреляционной функции, ускоряющие эту процедуру в десятки и сотни раз.