Графики функций - визуальное отображение зависимостей. Чтобы понять форму графика, нужно разобраться в его геометрических характеристиках. Уравнения касательной и нормали позволяют глубже изучить свойства графика в заданной точке. Хотите научиться составлять эти уравнения и интерпретировать результаты? Тогда эта статья для вас!
1. Основные определения
Уравнение касательной и нормали к графику функции - математические конструкции, позволяющие изучить свойства графика функции в конкретной точке. Рассмотрим подробнее, что они из себя представляют.
Касательная к графику функции
Это прямая, которая:
- проходит через заданную точку на графике функции;
- имеет с графиком функции в этой точке общую касательную.
Геометрически касательная "касается" графика функции только в одной точке. Угол между касательной и осью абсцисс называется касательным углом. Его величина равна значению производной функции в данной точке.
Нормаль к графику функции
Это прямая, которая:
- проходит через ту же самую точку на графике функции;
- перпендикулярна касательной к графику функции в этой точке.
Таким образом, нормаль всегда пересекается с касательной под прямым углом в точке касания графика.
2. Как найти уравнение касательной
Для нахождения касательной и нормали к графику функции используется стандартный алгоритм.
- Задается уравнение функции y = f(x)
- Выбирается точка касания на графике с координатами (x0; y0)
- Вычисляется значение производной функции в этой точке:
f'(x0) - Подставляются полученные значения в формулу уравнения касательной:
| y - y0 = f'(x0)·(x - x0) |
Рассмотрим на примере функции y = x2. Найдем уравнение касательной в точке с координатами (1; 1).
1) Задана функция: y = x2
2) Выбрана точка: (1; 1)
3) Вычисляем производную: f'(x) = 2x
4) Находим значение производной в точке: f'(1) = 2
5) Подставляем в формулу уравнения касательной:
| y - 1 = 2·(x - 1) |
Получили искомое уравнение касательной к параболе y = x2 в точке с координатами (1; 1).
3. Как вывести уравнение нормали
Теперь, когда мы умеем составлять уравнение касательной, давайте разберемся с уравнением нормали. Как уже упоминалось ранее, нормаль перпендикулярна касательной.
Вспоминая основы аналитической геометрии, можно показать, что если две прямые взаимно перпендикулярны, то произведение их угловых коэффициентов равно -1. Для касательной угловой коэффициент равен производной f'(x0). Значит, для нормали он должен быть обратным:
| kнорм = -1/f'(x0) |
Подставляя это выражение в уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом, получаем формулу для уравнения нормали:
| y - y0 = (-1/f'(x0))·(x - x0) |
4. Длины отрезков
Зная уравнения касательной и нормали, можно также найти длины некоторых отрезков, связанных с этими прямыми.
- Отрезок касательной. Это отрезок между точкой касания и точкой пересечения касательной с осью абсцисс. Его длину находят по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника.
- Отрезок нормали. Аналогично для нормали также можно найти длину отрезка от точки касания до пересечения нормали с осью абсцисс.
5. Важные рекомендации
Давайте еще раз вспомним основные этапы для того, чтобы составить уравнение касательной и нормали к графику функции:
- Задать функцию y = f(x)
- Выбрать точку касания (x0; y0)
- Найти значение производной f'(x0)
- Подставить в формулы уравнений
Следуя этому алгоритму, вы без труда сможете получать требуемые уравнения.
6. Анализ результатов
Когда уравнения касательной и нормали уже найдены, важно правильно интерпретировать результаты. Это поможет глубже понять поведение и свойства графика функции.
Исследование точек перегиба
Одно из важных применений уравнений касательной и нормали - это исследование точек перегиба графика функции. В этих точках происходит смена знака производной с "+" на "-" или наоборот.
Анализируя значение производной f'(x0), мы можем определить, является ли данная точка точкой максимума, минимума или перегиба:
- Если f'(x0) = 0, то имеем точку максимума или минимума
- Если f'(x0) меняет знак, то это точка перегиба
Исследование асимптот
Еще одно важное применение - определение асимптот графика функции. Асимптота - это прямая, к которой неограниченно приближается график.
Если значение производной f'(x0) стремится к бесконечности при приближении к некоторому значению аргумента x, то в этом направлении у функции есть вертикальная асимптота.
Определение выпуклости/вогнутости
Со знаком производной f'(x) также связана выпуклость или вогнутость графика функции:
- Если f'(x) > 0, то график выпуклый вверх
- Если f'(x) < 0, то график вогнутый вверх
Анализируя знак производной на разных интервалах, можно определить характер кривой.
Зная основные особенности графика функции (асимптоты, точки экстремума, интервалы выпуклости/вогнутости), уже можно составить приблизительный эскиз графика, не прибегая к построению.
Нахождение точек пересечения графиков
Еще одно важное применение уравнений касательной и нормали - это нахождение точек пересечения графиков двух функций. Алгоритм следующий:
- Записать уравнения двух функций: y = f1(x), y = f2(x)
- Приравнять правые части этих уравнений: f1(x) = f2(x)
- Найти корень полученного уравнения - это и будет искомая абсцисса точки пересечения
Далее, подставив найденное значение абсциссы в любое из уравнений функций, можно найти соответствующее значение ординаты.
Вычисление углов между кривыми
Еще одна полезная задача - вычисление углов между графиками функций в точке пересечения. Для этого используется формула:
| tg(φ) = |f'1(x0)/f'2(x0)| |
где f'1(x0) и f'2(x0) - значения производных функций в точке пересечения с абсциссой x0.
Определение промежутков монотонности
Анализируя знак производной f'(x), можно также определить промежутки, на которых функция является возрастающей или убывающей:
- Если f'(x) > 0, функция возрастает
- Если f'(x) < 0, функция убывает
Это позволяет исследовать монотонность поведения функции на различных интервалах.
