Признак делимости на 2 - это простой и удобный способ определить, является ли число четным. В статье мы подробно разберем, как это работает и почему так важно уметь определять четность числа.
Суть признака делимости на 2
Формулировка признака делимости на 2 звучит так: число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра является четной, то есть 0, 2, 4, 6 или 8.
Например, числа 32, 64, 100 делятся на 2, так как оканчиваются на четные цифры 2, 4 и 0 соответственно. А числа 31, 63, 101 на 2 не делятся, поскольку оканчиваются на нечетные цифры 1 и 3.
Используя этот простой признак делимости на 2, можно мгновенно определить, делится число на 2 или нет, не выполняя фактического деления. Это экономит время и упрощает многие задачи.
Данный признак тесно связан с понятием четного и нечетного числа. Четные числа по определению делятся на 2. Соответственно, согласно признаку делимости на 2, запись любого четного числа оканчивается на четную цифру. А запись нечетного числа оканчивается на нечетную цифру.
Рассмотрим несколько практических примеров использования признака делимости на 2:
- Определить, являются ли четными числа 47, 94, 193, 212. Посмотрев на последние цифры, видим, что 94 и 212 оканчиваются на четные цифры 4 и 2. Следовательно, по признаку делимости, эти числа четные. А числа 47 и 193 оканчиваются на нечетные 7 и 3, значит, они нечетные.
- Проверить, делятся ли числа 8642, 9673, 1024 на 2 без остатка. Первое и третье числа заканчиваются на четные 2 и 4, поэтому делятся. Второе число оканчивается на нечетную 3, следовательно, на 2 не делится.
Обоснование признака делимости на 2
Почему же признак делимости на 2 работает таким образом? Давайте докажем его математически.
Любое целое число можно представить как сумму разрядов вида:
Число = Разряд единиц + 10 * Разряд десятков + 100 * Разряд сотен + ...
Например, число 257 записывается так:
- Единицы: 7
- Десятки: 5 * 10 = 50
- Сотни: 2 * 100 = 200
Подставляя в формулу:
257 = 7 + 50 + 200
Теперь воспользуемся свойством: если в сумме чисел одно число делится на 2, а другое нет, то и сумма тоже не делится на 2.
В нашем примере 200 явно делится на 2, так как оканчивается на 0. А вот 7 не делится на 2, потому что это нечетное число. Следовательно, их сумма 257 тоже не делится на 2 без остатка.
В этом примере мы наблюдаем работу признака делимости на 2: последняя цифра указывает, делится все число или нет. Если последняя цифра четная - число делится. Если нечетная - не делится.
Урок признаки делимости на 2: практика применения
Теперь, когда мы понимаем, почему признак делимости на 2 работает и как он связан с четными и нечетными числами, рассмотрим практические примеры его применения для решения математических задач.
Начнем с простой задачи на использование признака.
Найти количество трехзначных чисел, в записи которых есть хотя бы одна четная цифра.
Решение:
- Всего трехзначных чисел существует 900 (от 100 до 999).
- Согласно условию, нас интересуют только те, где есть хотя бы одна четная цифра.
- По признаку делимости на 2, если в записи числа присутствует четная цифра 0, 2, 4, 6 или 8, то число делится на 2.
- Значит, подходят все числа, кроме составленных из нечетных цифр 1, 3, 5, 7, 9.
- Таких чисел всего 125 (от 111 до 999 с шагом 4).
- Тогда ответ будет: 900 - 125 = 775.
Ответ: 775
| Число четных цифр | Четность числа |
| 3 четные цифры | Число четное |
| 2 четные цифры | Число четное |
| 1 четная цифра | Число четное |
| 0 четных цифр | Число нечетное |
Как видно из решения, признак делимости на 2 позволяет значительно упростить задачу. А в сочетании с наглядной таблицей это дает еще больший эффект!
Другие примеры применения признака делимости на 2
Рассмотрим еще несколько примеров, демонстрирующих удобство использования признака делимости на 2 при решении задач.
Определение количества натуральных чисел в промежутке по заданному условию
Сколько натуральных чисел от 1 до 100 включительно делятся на 2 и не делятся на 5?
По признаку делимости на 2, нам нужны числа, оканчивающиеся на четную цифру. А по признаку делимости на 5, нам не нужны числа, оканчивающиеся на 0 или 5.
Таких чисел получается 50 (2, 4, 6, 8, 10, 12 и т.д. до 98).
Нахождение количества билетов определенного типа
На концерт продаются билеты, номера которых состоят из пяти цифр. Сколько билетов с четными номерами можно продать на этот концерт?
Обозначим:
- Общее количество пятизначных чисел - от 10000 до 99999, то есть 90000 чисел.
- По признаку делимости на 2 , четными будут числа, оканчивающиеся на четную цифру. Таких чисел ровно 45000 (половина от общего количества).
- Значит, билетов с четными номерами можно продать 45000.
Признаки делимости 2 правило для быстрых вычислений
Давайте теперь рассмотрим, как признак делимости на 2 можно использовать при устных вычислениях, чтобы значительно их ускорить и упростить.
Вычисление последней цифры в степени
Какую цифру будет иметь число 2 в 10НОНй степени?
Решение:
- 2 в любой степени делится на 2, так как число 2 четное.
- По правилу делимости на 2, если число делится на 2, то его последняя цифра тоже четная.
- Значит, последняя цифра 2 в 10НОНй степени будет четной, т.е. 0, 2, 4, 6 или 8.
Так, не выполняя громоздких вычислений, а лишь используя признак делимости, мы существенно упростили задачу.
Приближенное вычисление значения дроби
Оцените значение дроби: \(\frac{9635}{7392}\), не выполняя деления.
Решение: так как в числителе и знаменателе дроби присутствуют только нечетные цифры, оба числа нечетные. Значит, при делении в ответе не может быть целой части, он лежит строго между 1 и 2. Приближенный ответ: 1,3.
Опять же, мы существенно сократили вычисления, воспользовавшись правилом делимости на 2.
