Формулы приведения - один из важнейших инструментов тригонометрии. Они позволяют упростить работу с тригонометрическими функциями, вычислять их значения для любых углов. Давайте разберемся, что это за формулы, зачем они нужны и как их применять.
Понятие формул приведения
Формулы приведения - это формулы, с помощью которых значения тригонометрических функций для произвольных углов сводятся к значениям этих функций для острых углов (от 0 до 90 градусов). Иными словами, формулы приведения позволяют "приводить" функции от любых углов к функциям от острых углов.
На практике формулы приведения используются во многих задачах:
- Решение прямоугольных треугольников
- Вычисление значений тригонометрических функций и выражений
- Задачи на касательную
- Стереометрические задачи
Всего формул приведения насчитывается 32. Они делятся на 3 основные группы:
- Для углов вида π, 2π, 3π и т.д.
- Для углов вида π/2, 3π/2 и т.д.
- Для углов вида π±α, 2π±α и т.д., где α - произвольный острый угол
Суть действия формул приведения заключается в следующем: мы берем функцию от какого-то "неудобного" угла и преобразуем ее так, чтобы получилась равная по значению функция от острого угла. Это позволяет упростить дальнейшие вычисления.
Основные формулы приведения
Первая группа формул приведения предназначена для углов кратных π:
- sin(π±α) = ±sinα
- cos(π±α) = ±cosα
- tg(π±α) = ±tgα
- ctg(π±α) = ±ctgα
Здесь видно главное свойство углов, кратных π, - название функции не меняется, а знак определяется по четверти, в которой находится исходный угол.
Вторая группа предназначена для углов кратных π/2:
- sin(π/2±α) = ±cosα
- cos(π/2±α) = ∓sinα
- tg(π/2±α) = ±ctgα
- ctg(π/2±α) = ∓tgα
Здесь происходит замена функции на кофункцию, а знак также определяется по четверти исходного угла.
Для третьей группы формул справедливо:
- sin(π±α) = ±sinα
- cos(π±α) = ∓cosα
- tg(π±α) = ±tgα
- ctg(π±α) = ∓ctgα
Эти формулы во многом схожи со второй группой, но есть некоторые отличия в знаках.
Запоминание формул приведения
Как видно, всего формул получается довольно много. К счастью, не нужно учить их все наизусть! Существует несколько полезных правил и мнемонических приемов.
Прежде всего, важно запомнить 2 основных правила:
- Если аргумент содержит π или 2π, то название функции не меняется
- Если аргумент содержит π/2 или 3π/2, то функция меняется на кофункцию
Также существует забавное "правило лошади". Суть его в том, что если в аргументе функции стоит ±π/2 или ±3π/2, то мысленно представляют лошадь, которая кивает головой вверх-вниз (вдоль вертикальной оси на тригонометрической окружности). Это означает, что нужно поменять функцию на кофункцию. Если же в аргументе ±π или ±2π, то лошадь кивает влево-вправо (вдоль горизонтальной оси) - функцию менять не нужно.
Таблица формул приведения
Для удобства применения все формулы приведения можно свести в компактную таблицу:
| Аргумент функции | Синус | Косинус | Тангенс | Котангенс |
| π | ±sinα | ±cosα | ±tgα | ±ctgα |
| π/2 | ±cosα | ∓sinα | ±ctgα | ∓tgα |
Используя эту таблицу, легко определить нужную формулу приведения, не запоминая все 32 варианта.
Формулы приведения тригонометрии: примеры использования
Рассмотрим несколько конкретных примеров, где "формулы приведения тригонометрии" помогают упростить вычисления.
Найдем значение выражения sin(5π/3):
- 5π/3 можно представить как π/2 + 4π/3
- Согласно таблице, для аргумента π/2 функция синус меняется на косинус
- 4π/3 - это острый угол в первой четверти, cos 4π/3 положителен
- Итого: sin(5π/3) = cos(4π/3)
Еще один пример - вычисление tg(7π/4):
- 7π/4 = π/2 + 3π/4
- Для π/2 функция тангенс меняется на котангенс
- 3π/4 - угол во второй четверти, ctg положителен
- Получаем: tg(7π/4) = ctg(3π/4)
Как видно из примеров, благодаря формулам приведения сложные тригонометрические выражения сводятся к простым.
Другие приемы использования
Помимо основных формул приведения, есть и другие полезные приемы.
Например, часто используют свойства четности и нечетности тригонометрических функций. Они позволяют определять значения функций для отрицательных углов, не прибегая к формулам приведения.
Также важно уметь применять периодичность функций. Зная период, можно свести любой угол к его значению от 0 до 2π. Это тоже упрощает вычисления.
Типичные вопросы
Рассмотрим несколько типичных вопросов по формулам приведения тригонометрии:
- Почему в формуле sin(π+α)=+sinα стоит знак "+", а не "-"?
- Как в формуле приведения определять, в какой четверти находится угол α?
- Можно ли в формулах приведения значение α считать острым углом?
