Формула Стокса является одной из важнейших в математической физике. Она позволяет вычислять интегралы от роторов и дивергенций векторных полей. Эта формула находит широкое применение в гидродинамике, электродинамике, теории упругости и других областях.
Несмотря на кажущуюся простоту, формула Стокса содержит глубокий физический смысл. Она устанавливает связь между потоком векторного поля через поверхность и циркуляцией этого поля по контуру, ограничивающему поверхность. Это фундаментальное соотношение позволяет на практике вычислять одни физические величины через другие.
Вывод формулы Стокса
Для вывода формулы Стокса рассмотрим векторное поле F в некоторой области пространства V , ограниченной замкнутой поверхностью S . Пусть C - контур, ограничивающий эту поверхность. Тогда, согласно определениям дивергенции и ротора, можно записать:
∫V div **F** dV = ∫S **F** ∙ d**S**
∫S rot **F** ∙ d**S** = ∫C **F** ∙ d**r**
Преобразуя эти равенства с помощью формул Остроградского-Гаусса и Стокса, получаем:
∫V div **F** dV = ∫C **F** ∙ d**r**
∫S rot **F** ∙ d**S** = -∫V **F** ∙ d**S**
Приравнивая правые части, находим формулу Стокса:
∫S rot **F** ∙ d**S** = ∫C **F** ∙ d**r**
Таким образом, циркуляция векторного поля по контуру равна потоку его ротора через любую поверхность, имеющую этот контур в качестве границы.
Применение формулы Стокса
Рассмотрим несколько примеров применения формулы Стокса для решения конкретных задач.
Вычисление циркуляции скорости вязкой жидкости
Пусть задано векторное поле скорости v вязкой несжимаемой жидкости. Тогда согласно уравнению неразрывности его дивергенция равна нулю: div **v** = 0. Подставляя это в формулу Стокса, получаем:
∫S rot **v** ∙ d**S** = 0
То есть циркуляция скорости вязкой жидкости по любому контуру равна нулю. Это важный результат гидродинамики.
Нахождение электрического тока
В электродинамике формула Стокса позволяет вычислить полный ток I , протекающий через поверхность S . Для этого достаточно вычислить циркуляцию вектора магнитной индукции B по контуру C, ограничивающему S :
I = (1/μ0)∫C **B** ∙ d**r**
Таким образом, зная индукцию, можно найти ток в проводнике без решения уравнений Максвелла.
Обобщения формулы Стокса
Существует несколько обобщений классической формулы Стокса:
- На многообразия, отличные от евклидова пространства.
- Для дифференциальных форм вместо векторных полей.
- Для вычисления интегралов по цепям вместо контуров.
Эти обобщения расширяют область применения формулы Стокса на более сложные математические объекты.
Формула Стокса является фундаментальным математическим соотношением, имеющим глубокий физический смысл. Она находит широкое применение в различных областях естествознания и техники. За более чем полтора века с момента открытия значение формулы Стокса для науки не уменьшилось. Это доказывает ее универсальность как математического инструмента описания природы.
Другие применения формулы Стокса
Помимо гидродинамики и электродинамики, формула Стокса находит применение и в других областях физики.
Вычисление деформации в теории упругости
В теории упругости формула Стокса позволяет связать деформацию тела с перемещением его границы. Если **u** - вектор перемещения частиц тела, то деформация выражается через ротор **u**. Применяя формулу Стокса, можно вычислить деформацию по известному перемещению границы.
Определение вязкости жидкости
Используя формулу Стокса, можно определить вязкость жидкости. Для этого достаточно измерить скорость течения жидкости вблизи твердой поверхности и вычислить градиент скорости, который связан с вязкостью.
Вывод уравнения Навье-Стокса
Одним из важнейших уравнений гидродинамики является уравнение Навье-Стокса. Оно описывает движение вязкой несжимаемой жидкости. При его выводе используется как классическая формула Стокса, так и ее обобщения.
Расчет магнитных полей
В электротехнике с помощью формулы Стокса можно рассчитывать магнитные поля катушек, соленоидов и других устройств. Для этого достаточно знать распределение токов и геометрию проводников.
Обобщения формулы Стокса в дифференциальной геометрии
В дифференциальной геометрии существует несколько обобщений формулы Стокса.
Для гладких дифференцируемых многообразий вместо векторных полей рассматриваются дифференциальные формы. Для них также справедлива формула Стокса, связывающая интегралы форм по циклам и границам.
Еще одно обобщение позволяет вычислять интегралы не только по контурам, но и по сложным цепям на многообразии. Это обобщение лежит в основе теории гомологий.
Таким образом, идеи формулы Стокса плодотворно развиваются в современной математике, расширяя ее возможности.
