Вариация - это разброс или отклонение значений признака от средней величины. Показатели вариации позволяют оценить степень однородности совокупности данных. Различают абсолютные и относительные показатели вариации.
Абсолютные показатели вариации
К абсолютным показателям вариации относят:
- Размах вариации
- Среднее линейное отклонение
- Среднее квадратичное отклонение
Эти показатели измеряют отклонения значений признака от средней величины в исходных единицах измерения. Например, если измеряется рост в сантиметрах, то отклонения также будут в сантиметрах.
Относительные показатели вариации
К относительным показателям вариации относятся:
- Коэффициент осцилляции
- Линейный коэффициент вариации
- Относительное линейное отклонение
- Относительное квадратичное отклонение
Эти показатели позволяют сравнивать вариацию различных совокупностей данных, измеренных в разных единицах. Они выражают относительную меру отклонений от средней.
Применение показателей вариации
Показатели вариации широко используются в статистическом анализе данных. Они позволяют:
- Оценить однородность выборки
- Сравнить вариацию в разных совокупностях
- Определить точность оценки средней
- Обнаружить выбросы и аномалии в данных
Например, низкая вариация говорит об однородности исследуемой совокупности. А высокая - о неоднородности, наличии выбросов или ошибок измерения.
При сравнении двух совокупностей, как правило, предпочтение отдается той, у которой вариация меньше.
Коэффициент осцилляции
Формула для вычисления коэффициента осцилляции:
Где σ - среднее квадратичное отклонение, Xmax и Xmin - соответственно максимальное и минимальное значения вариационного ряда.
Коэффициент осцилляции показывает отношение размаха вариации к сумме максимального и минимального значений признака. Чем меньше его значение, тем однороднее совокупность.
Линейный коэффициент вариации
Формула для вычисления линейного коэффициента вариации:
Где σ - среднее квадратичное отклонение, X̅ - среднее арифметическое.
Линейный коэффициент вариации позволяет сравнивать вариацию в разных совокупностях. Чем меньше его значение, тем выше однородность.
Итак:
- К относительным показателям вариации относятся коэффициент осцилляции, линейный коэффициент вариации, относительное линейное и квадратичное отклонения.
- Они выражают относительную меру отклонений от средней и позволяют сравнивать вариацию в разных совокупностях.
- Чем меньше относительные показатели вариации, тем однороднее исследуемая совокупность.
Сравнение абсолютных и относительных показателей вариации
Как уже отмечалось, абсолютные показатели вариации выражают отклонения в исходных единицах измерения. А относительные показатели вариации представляют относительную меру отклонений.
Поэтому при сравнении вариации в разных совокупностях целесообразно использовать именно относительные показатели. Они позволяют корректно сопоставлять данные, измеренные в различных шкалах.
Понятие и показатели вариации
Итак, еще раз вернемся к базовому понятию вариации. Под вариацией понимается отклонение значений признака от средней величины. Чем больше различие значений в совокупности, тем выше вариация.
Для количественной оценки вариации используют различные статистические показатели: размах вариации, средние отклонения, коэффициенты вариации и другие. В зависимости от способа вычисления их делят на абсолютные и относительные.
Выбор показателя вариации
При выборе конкретного показателя для анализа вариации следует учитывать:
- Цель исследования
- Характер распределения данных
- Наличие аномальных наблюдений
- Единицы измерения признака
Например, для выявления выбросов лучше подходит размах вариации. А для оценки точности среднего - среднее квадратичное отклонение.
Что такое вариация в статистике
Подводя итог, еще раз отметим - вариация в статистике это показатель, отражающий степень разброса или отклонения значений признака от средней величины в совокупности.
Анализ вариации является важной частью статистического исследования. Высокая вариация говорит о неоднородности данных, низкая - об их однородности.
Применение анализа вариации
К основным задачам анализа вариации относятся:
- Оценка однородности совокупности
- Сравнение вариации в разных группах
- Поиск аномалий и выбросов
Анализ вариации широко применяется в различных областях: экономике, социологии, технике, медицине и других.
Выбросы и их влияние на показатели вариации
При анализе реальных данных часто встречаются резко выделяющиеся наблюдения - выбросы. Наличие выбросов существенно влияет на показатели вариации.
Например, размах вариации и среднее квадратичное отклонение сильно зависят от экстремальных значений. Удаление выбросов приводит к резкому снижению этих показателей.
Робастные оценки вариации
Для снижения влияния выбросов используют так называемые робастные (устойчивые) оценки вариации. К ним относятся:
- Медианное абсолютное отклонение
- Квартильный размах
- Среднее отклонение по модулю
Такие оценки менее чувствительны к наличию аномальных наблюдений в данных.
Повторный отбор и вариация
Повторный отбор - это метод оценки статистических характеристик выборки путем извлечения случайных подвыборок из генеральной совокупности.
Например, для оценки вариации параметра в популяции случайным образом отбирается m подвыборок емкости n. Затем для каждой из них вычисляется показатель вариации (среднее квадратичное отклонение, размах и т.п.). Вариация в генеральной совокупности оценивается по вариации в отобранных подвыборках.
Что такое вариация и как ее анализировать
Итак, вариация - это разброс или отклонение значений признака от средней. Анализ вариации заключается в расчете статистических показателей, количественно характеризующих этот разброс.
Для анализа используют как абсолютные, так и относительные показатели: размах вариации, различные средние отклонения, коэффициенты вариации.
Результаты анализа позволяют судить об однородности данных, наличии аномальных наблюдений, точности расчета средних и других параметров.
Меры положения и меры рассеивания
Показатели вариации упоминаются также под названием мер рассеивания или мер разброса. Это связано с тем, что они характеризуют степень отклонения значений от среднего.
Наряду с мерами рассеивания существуют так называемые меры положения (меры центральной тенденции). К ним относятся среднее арифметическое, медиана, мода.
Меры положения показывают центр или наиболее типичное значение признака. Меры же рассеивания описывают отклонения от этого центра.
Интерпретация коэффициента вариации
Для правильной интерпретации коэффициента вариации следует учитывать специфику анализируемых данных.
Например, для социально-экономических показателей значения коэффициента вариации до 30-33% считаются умеренной вариацией. Если же речь идет о физических величинах, то такой уровень вариации будет показателем неоднородности данных.
Сравнение вариации в различных группах
Для сравнения вариации в разных совокупностях целесообразно использовать относительные показатели - коэффициенты вариации.
Так, небольшая в абсолютных значениях, но высокая в относительных величинах вариация может свидетельствовать о меньшей однородности данных.
Влияние объема выборки на вариацию
Чем больше объем выборки, тем меньше вариация оценки таких параметров совокупности как среднее значение или доля признака.
Это объясняется усреднением случайных колебаний при увеличении числа наблюдений.
Программная реализация расчета показателей вариации
В статистических программных пакетах (STATISTICA, SPSS, R и др.) предусмотрены специальные функции для расчета различных показателей вариации.
Результаты вычислений представляются в виде отчетов, графиков, можно экспортировать данные для последующей обработки.
Неравенство Чебышева
Одной из важных характеристик вариации является доля значений, отклоняющихся от математического ожидания больше, чем на заданную величину. Эту долю описывает неравенство Чебышева.
Согласно ему, доля значений, отличающихся от математического ожидания больше, чем на k σ, не превосходит 1/k2, где σ - среднее квадратичное отклонение.
Гистограмма как инструмент анализа вариации
Наглядным способом представления вариации данных является гистограмма - графическое изображение распределения значений. По форме гистограммы можно визуально оценить разброс.
Также по гистограмме удобно выявлять наличие выбросов, асимметрию распределения и другие особенности вариации.
Нормальное распределение как эталон вариации
В теории вероятностей нормальный (гауссов) закон распределения часто выступает в качестве эталонного. Реальные распределения сравниваются с ним.
Для нормального распределения характерен оптимальный, с точки зрения информационной энтропии, уровень вариации.
Факторный анализ вариации
Для выявления факторов, влияющих на вариацию признака, может использоваться дисперсионный или регрессионный анализ.
Например, изучается влияние таких факторов как пол, возраст, уровень дохода, место проживания на вариацию ценностных ориентаций, предпочтений, установок.
Метод статистических испытаний (тестов)
Для оценки случайной вариации при производстве продукции применяют метод статистического контроля качества и статистических испытаний.
При этом анализируют вариацию контролируемого параметра между подгруппами продукции относительно общей вариации.
Влияние выбросов на асимметрию и эксцесс
Помимо повышения вариации, наличие выбросов может приводить к появлению асимметрии и более островершинного (лептокуртичного) распределения.
Для количественной оценки асимметрии и эксцесса используются соответствующие статистические показатели. Их анализ позволяет выявлять аномалии в данных.
Устойчивость дисперсии
Одним из важных свойств выборки является устойчивость дисперсии, подразумевающая ее независимость от объема выборки.
Для проверки этого свойства вычисляют значения дисперсии в подвыборках различного объема и сравнивают их с помощью статистических критериев.
Анализ временных рядов на гетероскедастичность
При анализе временных рядов, характеризующих развитие того или иного процесса, важное значение имеет проверка ряда на гетероскедастичность.
Под этим термином подразумевают существенное изменение вариации во времени. Например, возрастание волатильности показателя с течением периода.
Авторегрессионная модель динамики вариации
Для прогнозирования динамики вариации (дисперсии, среднеквадратичного отклонения и др.) временного ряда используют авторегрессионные модели.
В этих моделях текущее значение показателя вариации представляется в виде функции от его предыдущих значений с учетом случайного возмущения.
Анализ вариационных рядов и выборочных распределений
При проведении статистического анализа представляет интерес изучение не отдельных значений признака, а целиком вариационного ряда или выборочного распределения.
К инструментам такого анализа относятся гистограммы, кумуляты, показатели асимметрии и эксцесса, различные проверки статистических гипотез.
Форма распределения и вариация
Форма распределения данных тесно связана с показателями вариации. Например, для нормального распределения при заданных значениях математического ожидания и дисперсии однозначно определяется график плотности вероятности.
В то же время по эмпирическим данным можно восстановить теоретическую функцию распределения. Ее параметры как раз и дают числовую характеристику вариации.
Многомерный анализ вариации
Помимо анализа вариации одного признака, существуют методы оценки совместной вариации нескольких признаков.
К ним относятся дисперсионный, ковариационный, корреляционный анализ, многомерное шкалирование и другие.
Влияние масштаба измерения на вариацию
Степень вариации данных может существенно зависеть от масштаба измерений. Например, измерение дохода в тысячах или миллионах валютных единиц приводит к различиям в показателях вариации.
В связи с этим при сравнительном анализе вариации важно приводить данные к сопоставимым единицам измерения.
Ранговые коэффициенты вариации
Для анализа вариации в выборках с неметрическими данными используются ранговые коэффициенты вариации, основанные на порядковых статистиках.
Они позволяют сравнивать разброс в различных совокупностях, для которых отсутствуют количественные шкалы измерения.
Оценка вариации по качественным признакам
Анализ вариации может проводиться не только для количественных, но и для качественных, атрибутивных признаков.
Для этого используются статистики, основанные на частотах встречаемости градаций признака, такие как коэффициент ассоциации Пирсона.
Влияние выбросов на эффективность оценивания
Наличие аномальных наблюдений или выбросов в данных может существенно снижать эффективность статистического оценивания.
Например, точечные оценки (выборочные средние, дисперсии), построенные по выборкам с выбросами, как правило, имеют высокий уровень смещения и низкую эффективность.
Робастные методы оценивания параметров
Для повышения устойчивости оценок параметров распределения при наличии аномальных данных используют робастные процедуры оценивания.
К ним относятся М-оценки, R-оценки, L-оценки, основанные на применении робастных мер положения и рассеивания.
Непараметрическое оценивание в условиях выбросов
Альтернативой робастным методам служат непараметрические оценки, точность которых не зависит от вида распределения.
Медиана, порядковые статистики, ядерные оценки плотности хорошо работают даже на данных, содержащих аномалии.
Применение глубоких нейронных сетей
Перспективным направлением повышения устойчивости анализа данных в условиях аномалий и выбросов является использование аппарата глубокого машинного обучения.
Современные нейросетевые архитектуры способны эффективно обрабатывать зашумленные данные, игнорируя при этом выбросы.
Выделение информативных признаков
Для повышения робастности моделей машинного обучения большое значение имеет выбор информативных признаков, несущих максимум полезного сигнала.
Применение методов отбора признаков, таких как лассо-регрессия или главных компонент, позволяет снизить размерность и улучшить качество обучения.
