Десятичные дроби широко используются в математике, экономике, технических науках для компактной и наглядной записи дробных чисел. В отличие от обыкновенных дробей, где числитель и знаменатель записываются отдельно друг от друга, в десятичных дробях используется разделитель - запятая. Целая часть числа записывается до запятой, дробная часть - после. Такая форма записи позволяет быстрее выполнять вычисления и избегать громоздких обыкновенных дробей. В статье мы подробно разберем, как записать обыкновенную дробь в десятичном виде, с примерами и пошаговыми инструкциями.
Число в виде десятичной дроби
Иногда в результате деления получается бесконечная десятичная дробь. Например:
1/3 = 0,(3)
Здесь 0,(3) означает, что цифра 3 повторяется бесконечно. Такие дроби называются периодическими.
Другой пример периодической дроби:
| 1/7 | = 0,(142857) |
Периодические дроби можно округлить до нужного знака после запятой.
Округление десятичных дробей
При вычислениях часто бывает удобно округлить десятичную дробь, чтобы избавиться от лишних знаков после запятой. Существуют правила округления:
- Если следующая цифра меньше 5, округляем в меньшую сторону
- Если следующая цифра больше 5, округляем в большую сторону
- Если следующая цифра равна 5, смотрим на предыдущую. Если предыдущая четная - в меньшую сторону, нечетная - в большую
Например, округлим число 0,1267. Последняя цифра 7 больше 5, значит округляем в большую сторону. Получаем: 0,13.
При округлении всегда возникает погрешность, то есть некоторая разница между точным и округленным значением. Эту погрешность нужно учитывать в дальнейших расчетах.
Округление периодических дробей
0,7(2) означает дробь 0,72 с периодом 2. Мы можем округлить ее как 0,7. Так для всех периодических дробей - округляем до периода.
Вычисления с десятичными дробями
После того как обыкновенная дробь записана в десятичном виде, с ней можно производить различные вычисления: сложение, вычитание, умножение и деление.
- Сложение и вычитание. Чтобы сложить или вычесть десятичные дроби, нужно записать их столбиком, расположив запятые в одной вертикали. Затем складывать и вычитать как обычные числа.
- Умножение. При умножении десятичных дробей числа перемножаются как обычные. Запятую в результате ставят на то же количество знаков, сколько их было во множителях.
- Деление. Чтобы разделить одну десятичную дробь на другую, ставят запятую в частном на то же количество знаков, сколько их в делимом.
При вычислениях периодические дроби можно округлять и оперировать с приближенными значениями. Это упрощает вычисления, но приводит к некоторой погрешности.
Практические задачи с десятичными дробями
Рассмотрим несколько практических задач, где нужно произвести вычисления с десятичными дробями.
Задача 1. Расчет площади участка
Дан прямоугольный участок земли со сторонами 125,7 м и 78,04 м. Найти его площадь.
Решение: Площадь прямоугольника равна произведению сторон. Переведем размеры в метры:
- 125,7 м
- 78,04 м
Умножаем: 125,7 · 78,04 = 9804,228 кв.м
Ответ: площадь участка равна 9804,228 кв.м
Задача 2. Подсчет среднего балла
В классе 30 учеников. Средний балл по математике составляет 3,75. Сколько баллов набрали все ученики?
Решение: 3,75 - средний балл одного ученика. Всего учеников 30. Следовательно, все ученики набрали 30 · 3,75 = 112,5 баллов.
Ответ: 112,5 баллов.
Задача 3. Покупка товара со скидкой
Телевизор стоил 25 600 рублей. На него была объявлена скидка 15%. Сколько стоит телевизор со скидкой?
Решение: 1) 15% от 25600 рублей - это 0,15 · 25600 = 3840 рублей (размер скидки) 2) Цена телевизора без скидки - 25600 рублей 3) Цена со скидкой = цена без скидки - размер скидки = 25600 - 3840 = 21760 рублей
Ответ: 21760 рублей
Задача 4. Расчет прибыли
Предприниматель закупил 120 товаров по цене 15,5 долларов за штуку. Продал товар по цене 19,99 долларов за штуку. Какую прибыль получил предприниматель?
Решение: 1) Затраты на покупку 120 товаров = 120 · 15,5 = 1860 долларов 2) Выручка от продажи = 120 · 19,99 = 2398,8 долларов 3) Прибыль = выручка - затраты = 2398,8 - 1860 = 538,8 долларов
Ответ: предприниматель получил 538,8 долларов прибыли.
Задача 5. Расчет объема цилиндрической емкости
Дана емкость в форме цилиндра с диаметром основания 2,5 м и высотой 3,15 м. Вычислить объем емкости с точностью до десятых.
Решение: 1) Формула объема цилиндра: V = πR2H, где R - радиус основания, H - высота 2) Радиус основания R = Диаметр / 2 = 2,5 / 2 = 1,25 м 3) Подставляем в формулу: V = 3,14 * 1,252 * 3,15 = 14,726125 м3 4) Округляем до десятых: объем емкости равен 14,7 м3
Ответ: 14,7 м3
Анализ решения задач
Рассмотренные задачи демонстрируют практическое применение десятичных дробей для инженерных, экономических и других вычислений. Видно, что десятичные дроби позволяют получать решения с заданной точностью.
