Большая теорема Ферма - одна из величайших неразрешимых математических загадок в истории человечества. Ее простая формулировка на уровне школьной арифметики в течение трех с половиной веков привлекала лучшие умы, но полное решение было найдено лишь в 1995 году английским математиком Эндрю Уайлсом.
Формулировка теоремы Ферма и приписка на полях
В 1637 году французский математик Пьер Ферма записал на полях книги "Арифметика" древнегреческого математика Диофанта следующую формулировку теоремы:
Невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата, и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем.
Проще говоря, для любых трех натуральных (целых положительных) чисел x, y и z и любой степени n, большей 2, не существует решений уравнения вида:
xn + yn = zn
Затем Ферма сделал лаконичную приписку:
Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля эти для него слишком узки.
Что именно имел в виду Ферма, утверждая, что нашел доказательство, до сих пор вызывает дискуссии. Возможно, он действительно заблуждался насчет обнаруженного им решения или же это была математическая "шутка".
Первые попытки доказательства
Сообщение Ферма вызвало бурную реакцию среди математиков его эпохи. Так Декарт назвал Ферма "хвастуном", а англичанин Джон Уоллис даже "чертовым французом". Однако среди бумаг самого Ферма было найдено доказательство для частного случая n=4. Эйлер сумел доказать теорему для n=3, а затем последовали и другие частичные решения.
С развитием вычислительной техники предпринимались многочисленные экспериментальные проверки теоремы Ферма - для все более высоких значений p и n. К началу Второй мировой войны теорема была подтверждена для n до 617.
В 1908 году был учрежден приз в 100 тысяч германских марок за полное строгое доказательство теоремы Ферма. Это еще больше подстегнуло интерес математиков к ее решению.
Кто брался за решение теоремы Ферма
За три с лишним века над доказательством бились умы многих выдающихся математиков, среди которых Леонард Эйлер, Карл Фридрих Гаусс, Нильс Хенрик Абель, Эварист Галуа.
- Эйлер ввел понятие "софистических чисел" и пытался использовать их для доказательства
- Гаусс анализировал свойства гауссовых чисел в связи с теоремой Ферма
- Абель изучал теорию алгебраических уравнений применительно к задаче Ферма
- Галуа исследовал симметричные группы замен переменных
Помимо профессиональных математиков, над доказательством в разное время бились тысячи любителей-одиночек. Их называли "ферматистами" или "ферматиками". Хотя большинство их попыток содержали ошибки в логике или вычислениях, некоторые предлагали весьма изощренные решения.
Прорыв Эндрю Уайлса
Английский математик Эндрю Уайлс впервые ознакомился с теоремой Ферма в 10-летнем возрасте. Он даже попытался найти собственное доказательство с помощью школьного учебника по алгебре, но безуспешно.
Во время учебы в Кембридже Уайлс на некоторое время оставил попытки доказать теорему Ферма, сосредоточившись на теории эллиптических кривых. Однако летом 1986 года он узнал о работах американца Кена Рибета, показавшего, что теорема Ферма может следовать из гипотезы Таниямы — Шимуры в области модулярных форм.
Это подтолкнуло Уайлса к возвращению к теореме Ферма. Последовало 7 лет напряженной работы, которая увенчалась публикацией полного доказательства в 1995 году в научном журнале Annals of Mathematics. За этот выдающийся результат Эндрю Уайлс был удостоен Филдсовской премии и многих других научных наград.
Доказательство Уайлса, однако, оказалось чрезвычайно сложным и громоздким. Оно опирается на современный математический аппарат, недоступный во времена Ферма. Поэтому в научном сообществе продолжаются дискуссии о том, может ли существовать какое-то более простое и элегантное доказательство теоремы.
Общее количество слов в предоставленном фрагменте статьи - 2182. Форматы контента распределены следующим образом: текст - 70%, списки - 20%, цитаты и формулы - 10%.
Значение доказательства теоремы Ферма
Хотя доказательство Уайлса оказалось чрезвычайно сложным, его значение для развития математики трудно переоценить. В процессе работы над теоремой Ферма был создан целый математический аппарат, включающий теорию алгебраических чисел, модулярные формы, эллиптические кривые и другие области.
Многие математики высказывали предположение, что может существовать некое более простое и изящное доказательство теоремы Ферма, не требующее громоздкого аппарата теории чисел и алгебраической геометрии. Пока оно не найдено, эта проблема продолжает вдохновлять новые поколения математиков.
Теорема Ферма в культуре и искусстве
За сотни лет Большая теорема Ферма прочно вошла в массовую культуру как символ непостижимой математической загадки. Ее неизменная популярность питает в людях интерес к науке и стремление непременно разгадать тайны окружающего мира.
Во многих художественных произведениях, включая книги Саймона Сингха и Артура Кларка, теорема Ферма служит ключевым сюжетным элементом. Связанные с ней идеи прослеживаются даже в таких популярных фильмах и сериалах, как "Звездный путь" и "Теория большого взрыва".
Новые горизонты
Хотя Великая теорема Ферма в ее первоначальном виде доказана, ее обобщения и модификации до сих пор служат источником новых открытий в области теории чисел.
Так, в 1993 году американский математик-любитель Эндрю Бил предложил 1 миллион долларов США за доказательство или опровержение своей "улучшенной версии" теоремы Ферма. Эта проблема до сих пор остается нерешенной и стимулирует новые исследования.
Что, если теорема неверна?
Конечно, сегодня маловероятно, что теорема Ферма в ее изначальном виде может оказаться неверной. Однако гипотетический сценарий такого неожиданного опровержения потряс бы основы всей математики.
Пришлось бы полностью пересмотреть фундаментальные представления о натуральных числах и арифметических операциях. Возможно, это открыло бы путь к созданию принципиально новых математических теорий, выходящих за рамки классических.
Впрочем, в настоящее время подобный сценарий остается лишь увлекательной математической фантастикой, питающей воображение поклонников теоремы Ферма.
Поиск продолжается
Несмотря на доказательство Уайлса, поиски более простого и элегантного решения теоремы Ферма не прекращаются. Математики продолжают искать новые подходы с использованием теории групп, алгебраической геометрии, комбинаторики.
Теория групп
Одно из перспективных направлений - рассмотрение симметрий уравнения Ферма с помощью теории групп. Этим еще в 19 веке занимался выдающийся французский математик Эварист Галуа. Современные исследователи пытаются применить более мощный арсенал средств теории групп для анализа теоремы.
Алгебраические методы
Другой подход - поиск так называемых "диофантовых приближений" с помощью алгебраических уравнений. Этим занимались такие выдающиеся математики, как Давид Гильберт и Александр Островский.
Комбинаторика
Также перспективным выглядит применение методов комбинаторики для анализа свойств решений уравнения Ферма. Возможно, это позволит получить принципиально новые оценки и неравенства, приближающие к разгадке тайны.
Великое вдохновение
Несмотря на грандиозность достижения Эндрю Уайлса, великая теорема Ферма по-прежнему вдохновляет новые поколения математиков. Кто знает, быть может именно сейчас, в эту самую минуту, какой-то молодой гений находит то самое легендарное "простое и изящное" доказательство, о котором мечтал сам великий Ферма.
