Переходные процессы возникают при любых изменениях в электрической цепи. Их анализ важен для предотвращения перенапряжений и сверхтоков. В этой статье подробно разберем классический метод расчета переходных процессов - один из основных инструментов инженера.
Суть классического метода расчета переходных процессов
Классический метод расчета переходных процессов основан на решении дифференциальных уравнений цепи методами математического анализа. Он позволяет с хорошей точностью рассчитать форму кривых токов и напряжений в переходном режиме.
Этот метод был разработан в первой половине XX века и до сих пор широко используется благодаря простоте и наглядности. Его основное преимущество - возможность исследования процессов в цепи без применения компьютеров.
К недостаткам классического метода относят громоздкость расчетов для сложных схем и трудоемкость учета нелинейностей. В таких случаях удобнее применять классический и операторный метод расчета переходных процессов.
Тем не менее, классический метод расчета до сих пор используется при исследовании переходных процессов в электроэнергетике, радиотехнике, вычислительной технике.
Порядок расчета переходных процессов классическим методом
Рассмотрим алгоритм расчета переходных процессов классическим методом на примере простой RL-цепочки:
- Составляем систему дифференциальных уравнений цепи по законам Кирхгофа
- Задаем независимые начальные условия
- Определяем вынужденную (принужденную) составляющую решения
- Находим корни характеристического уравнения
- Записываем решение в виде суммы вынужденной и свободной составляющих
- Вычисляем константы интегрирования
- Анализируем полученное решение
Далее подробно рассмотрим каждый из этапов на конкретных примерах.
Расчет переходных процессов в RC и RL цепях
Начнем с простейшего случая - классический метод расчета переходных процессов в RC и RL цепях первого порядка. Рассмотрим последовательное соединение резистора, катушки и источника EDX:
Система уравнений этой цепи:
- UR = RI
- UL = L(dI/dt)
- U = UR + UL
Объединяя уравнения, получаем дифференциальное уравнение 1-го порядка:
L(dI/dt) + RI = E
Далее находим вынужденную составляющую решения Iвын исходя из предположения, что в установившемся режиме dI/dt = 0. В нашем случае:
Iвын = E/R
Затем составляем характеристическое уравнение и находим свободную составляющую Iсв. Для RC и RL цепей 1-го порядка Iсв = Ae-t/T, где T = L/R.
Наконец, объединяем составляющие в итоговое решение и находим константы из начальных условий:
I = Iвын + Iсв = E/R + Ae-t/T
Аналогично проводится классический метод расчета переходных процессов и для RC цепи 1-го порядка.
Расчет переходных процессов в контурах 2-го порядка
Если в цепи присутствуют два реактивных элемента (L и C), то она описывается дифференциальным уравнением 2-го порядка. Рассмотрим последовательный RLC-контур:
В этом случае характеристическое уравнение имеет вид:
LCp2 + RCp + 1 = 0
Отсюда находим свободную составляющую тока:
Iсв = Ае-αtcos(ωt + φ)
где α - коэффициент затухания, ω - угловая частота колебаний.
Особенности расчета параллельных контуров
Для параллельного соединения элементов характерно наличие взаимных индуктивностей. Их нужно учитывать при составлении уравнений по законам Кирхгофа. Рассмотрим схему:
Здесь взаимная индуктивность M связывает контуры 1 и 2. При составлении уравнений для каждого контура ее нужно учитывать как отдельный элемент.
Тогда для 1-го контура можно записать:
L1dI1/dt + RI1 + MdI2/dt = 0
А для 2-го:
L2dI2/dt + RI2 + MdI1/dt = 0
Компьютерное моделирование переходных процессов
Для анализа сложных цепей удобно использовать специальные программы. Их преимущество - возможность визуализации процессов. Рассмотрим моделирование переходных процессов в пакете Multisim...
Переходные процессы при несинусоидальных воздействиях
Классическим методом расчета переходных процессов называют также анализ отклика цепей на разного рода несинусоидальные (нестационарные) воздействия: импульсы, ступенчатые функции, случайные процессы. Называют его еще методом наложения или свертки. Рассмотрим особенности такого анализа.
Рассмотрим особенности анализа переходных процессов при несинусоидальных воздействиях.
Воздействие ступенчатой функции
Простейший случай - отклик цепи на скачкообразное изменение входного сигнала. Например, включение источника постоянного напряжения. Рассмотрим RC-цепь:
Здесь в качестве входного сигнала выступает ступенчатая функция E(t) с начальным значением 0.
Воздействие импульсной функции
Еще один распространенный случай - импульсное воздействие. Математически оно описывается дельта-функцией Дирака δ(t). Рассмотрим RL цепь при импульсном токе в катушке:
Здесь в роли входного сигнала выступает δ(t)-функция.
Случайные воздействия
На практике часто приходится иметь дело со случайными воздействиями. Их можно представить как сумму гармонических колебаний с случайной амплитудой и фазой. Для анализа используют корреляционный и спектральный методы.
Нелинейные цепи 2-го порядка
Для нелинейных цепей также применим классический метод расчета переходных процессов. Рассмотрим метод гармонической линеаризации на примере нелинейного RLC контура 2-го порядка.
Переходные процессы в системах автоматического регулирования
Классический метод позволяет исследовать переходные режимы в различных системах автоматики и управления. Основная задача - оценка запасов устойчивости и качества регулирования.
Рассмотрим метод гармонической линеаризации на примере нелинейного RLC контура 2-го порядка.
Постановка задачи
Имеется нелинейный RLC контур, содержащий нелинейный резистор с вольт-амперной характеристикой i = φ(u). Требуется найти переходный процесс в этой цепи при подаче ступенчатого напряжения.
Замена нелинейного элемента эквивалентным
Представим нелинейный резистор в виде эквивалентной линейной цепи с параметрами, зависящими от тока (метод гармонической линеаризации). Получаем линейный RLC контур с переменными параметрами.
Составление и решение уравнений
Для линеаризованного контура составляем и решаем систему дифференциальных уравнений относительно тока i. Учитываем, что параметры зависят от этого тока.
Анализ решения
Полученное решение позволяет проанализировать форму переходного процесса и оценить его длительность и колебательность. Сравниваем с переходным процессом в линейном RLC контуре.
Уточнение решения
Если требуется более точный расчет, применяем метод последовательных приближений - уточняем решение путем подстановки найденного тока в выражения для параметров цепи.
Переходные процессы при фазовых соотношениях напряжений
Рассмотрим вопрос анализа переходных процессов в сетях с несимметрией напряжений. При наличии сдвига по фазе между фазными напряжениями возникают несимметричные токи, влияющие на работу оборудования.
Причины появления фазового сдвига
Основные причины несимметрии:
- Несимметричная нагрузка фаз
- Несимметричные параметры сети
- Несимметричные режимы работы источников
Расчет токов и напряжений при сдвиге фаз
Для анализа процессов используется метод симметричных составляющих. Каждая фаза разлагается на симметричные составляющие: прямую, обратную и нулевую.
Влияние на работу электрооборудования
Из-за несимметрии возникает перегрузка отдельных фаз, перегрев обмоток, сокращение срока службы. Необходим учет этого фактора при выборе оборудования.
Меры по ограничению несимметрии
Для уменьшения несимметрии применяют симметрирующие устройства, выравнивание нагрузки фаз, регулирование параметров сети.
Перспективы исследований
Необходима разработка новых методов анализа и средств компенсации асимметрии для повышения качества электроэнергии. Перспективы очень впечатляющие, они дадут возможность для усовершенствования.
Переходные процессы в нелинейных цепях высших порядков
Метод гармонической линеаризации для нелинейного элемента
Рассмотрим применение метода гармонической линеаризации для анализа нелинейного элемента в цепи произвольного порядка. Элемент заменяется линейным с параметрами, зависящими от текущего значения напряжения или тока.
Учет высших гармоник
Поскольку в нелинейной цепи образуются высшие гармоники, нужен их учет при составлении дифференциальных уравнений. Каждая гармоника анализируется отдельно.
Метод усреднения
Для упрощения в ряде случаев применяют метод усреднения - замена переменных параметров их средним значением за период. Позволяет получить приближенное решение.
Численные методы расчета
Для нелинейных цепей сложнее получить аналитическое решение. Применяют численные методы: метод переменных состояния, метод гармонического баланса.
Компьютерное моделирование
Эффективный подход - моделирование нелинейной цепи с помощью специализированных программ. Позволяет визуализировать процессы и оценить вклад отдельных гармоник.
Выводы
В статье подробно рассматривается классический метод расчета переходных процессов с примерами и пояснениями. Объясняются основы метода, этапы расчета, приводятся конкретные примеры для RC и RL цепей, сложных RLC контуров. Отдельно разбираются вопросы учета нелинейностей, компьютерного моделирования процессов. Даются практические рекомендации инженерам по применению классического метода.
